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“双减”背景下高中数学如何设计习题的演变 摘要：中小学是基础教育，不仅要使学生获得一定的基础知识和基本技能，而且要使学生获得分析问题和解决问题的能力，具有独立进行学习和工作的能力。对学生能力的培养是开拓型和创造型人材培养的极为重要的一个方面。而在高中数学教学中通过习题的演变、延伸、推广，又是能力培养的重要途径之一。现根据笔者的教学实践，谈一些具体作法和体会，不妥之处请批评指正。关键词：关习题的演变，设计习题，解三角形范围试题。 引言：在“双减”背景下高中数学如何设计习题的演变？为了更好培养出创造型人材，本文旨在探究培养发散性思维的习题的演变特征。 一、多思多变，发展思维 平时解题不就题论题，不要题解完了，思路也就断了，而应该通过习题的演变，把思路不断扩展。这样作有利于培养学生多思勤想的习惯，有利于培养学生的观察能力、判断能力，发展学生的联动思维能力。比如，笔者通过一道数学竞赛题：若x2++=0，求x14+x-14的值，结合必修第二册课本中复数一章中的习题，把一些彼此有内在联系（互带启发性）的习题，通过一题多变的形式编排在一起，设计了如下的教学过程，启发学生通过自己的实践，获得知识，提高能力。 二、深化拓展，融会贯通 通过习题的演变，可以使问题深化，培养思维的广阔性、灵活性、深刻性、逻辑性，学会找特点、抓矛盾、求差异的思维方法，从而提高学生的应变能力。比如在复习三角函数时，笔者提出了以下一连串问题。解下列各最简三角方程； 上述各小题，初看起来，觉得不难，其实不然，真正弄明白，就不太容易。但通过习题的演变、联想、分析、对比可以帮助学生把知识理解得深刻、灵活，并融会贯通。 又例如，在解三角形的范围试题中，学生做好课本上的习题之后，笔者提出了以下一连串问题。 通过以上基础试题透露出解三角形范围试题的本质：①由余弦定理，得到边的关系再应用基本不等式求出范围，此种试题一般解决a+，ab，的范围；②遇到非a+，ab，类试题，可以应用正弦定理把边的范围转化成角的范围，从而用三角函数得到范围。 从而设计出以下试题： 分析：有上述的解法可知，本试题需要转化成角从而得到范围。 由问题二的解法透露了解三角形范围的本质，此时进一步设计问题三加强巩固解三角形范围试题的本质。 （1）求角A；成角，在用三角函数来求范围。 三、探索方向，总结规律 在教学中，注意引导学生从一道题抓一类题，以便形成较大的知识块，让学生在比较中去鉴别，从异中求同，从同中求异，使逻辑思维能力得到培养，认识事物的能力得到提高。 要用中点坐标公式，韦达定理又和一元二次方程有关，一元二次方程在哪里找呢？把直线和曲线方程联立起来，再把直线方程代入曲线方程即得一元二次方程。这就是说解这种类型题（圆锥曲线与直线相交又和中点有关的问题）的思路是： ①建立直线方程，并与曲线方程联立起来。 ②把直线方程代入曲线方程，得一元二次方程。 ③利用韦达定理。 ④利用中点坐标公式，并求出直线斜率。 ⑤得所求直线方程。 （若是求中点轨迹方程，则从中点坐标公式得轨迹参数方程，消参后即得普通方程） 3.求方向一定的直线被一定抛物线截得的弦的中点轨迹。 6.过椭圆一焦点作弦，求证各弦中点轨迹还是一个椭圆，它的离心率和原椭圆的离心率相等。 7.一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线的线段相等。 上述各题开始是椭圆与直线相交，后变成抛物线、圆或双曲线与直线相交，先试求解题 后变成证明题，不管它千变万化，只要学生掌握了第1题的思维方法，问题就迎刃而解了。后面的证明题，特别是最后一个题，初看起来已经和前面完全不同了，但通过图形分析后，可知只要两个中点重合即可得证。于是又可以归结到“圆锥曲线与直线相交，又和中点有关的问题”上去了。这样既明白了方向，又掌握了规律。 由上可知，通过习题的演变、引伸、推广、类比和联想，可以帮助学生不断发现和探索问题的内在联系及其规律性，从而做到讲一个例题使学生明白一类问题，做一道习题使学生抓住一串习题。这样做，举一反三，触类旁通，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，有利于培养具有开拓精神的创造型人才。 参考文献： [1]梁有福，例谈三角函数最值问题的突破策略，中学教学参考—理科版2017.8