小学数学解题专题研3 .pdf

第三讲 小学数学解题的思想方法（二） 问题 9 ：解题的思维方法“类比与联想” 类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似 的思维方法。在数学学习中常表现为当新旧知识有相同的属性，而已知的旧知识还有其他属性， 由此推出新知识也有同样的或类似的其他属性。 例 1.长方形是一个平面，长方体则是底面为长方形（或正方形）的立体，两者之间有一定的 联系。长方形的面积公式是通过摆一个个面积单位作直接度量，归纳出面积公式的，于是类比得 出长方体体积公式也可以通过摆一个个体积单位作直接度量归纳出体积公式。这是公式推导方法 上的类比。 在解决问题的过程中应用类比的方法。如，学生学习了梯形面积公式后，类比计算钢管堆的 总根数的题目。 例 2.求下面线段上可以找到的不同线段的总条数的解题方法，可以类比到在三角形内可以找 到不同的三角形的总个数的解题方法。它们的解题表达式都是：1 ＋2 ＋3 ＝6 . 但必须注意 ，类比的结果不一定正确 ，因为类比仅仅是一种推测。如： “甲比乙多 30 ，也就 是乙比甲少 30”，如果类比得出： “甲比乙多 30％ ，也就是乙比甲少 30％”，这个结果就是错误 的。类比结果有时发生错误 ，其原因主要是把某对象的非本质属性来类比其他对象，在类比时 ， 仅从形式上的一致性取代了对象属性间的本质差异。 一般说来 ，类比结论的可靠性取决于进行类比的两个（或两类）事物所具有的共同属性，及 11 类比推出的结论间是否有必然的联系。如果有，类比推出的结论是正确的，否则就不可靠。所以 确认类比对象的共同属性越多，则推测的结论越可靠；确认类比对象的共同属性越带有本质性， 则推测的结论也越可靠。 类比推出的结论虽然具有或然性，但在数学问题的求解或证明中，发现数学原理、方法，猜 测问题结论，以及发展学生创造性思维能力方面仍具有积极作用。 联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。 在小学数学解题中应用联想的方法，主要是能够唤起学生对旧知识的回忆，沟通新旧知识的 联系，加深理解数量关系，提高灵活解题能力。主要表现在以下三个方面。 第一，由相似特点的事物所形成的类似联想。当对数学问题感知时，对具有图形相似、关系 相似、方法相似的事物或问题也会产生联想。例如，学习分数基本性质时，联想到除法中的商不 变性，认识到两者具有一致性；学习圆柱体体积公式时，联想到圆面积公式是通过剪拼得到的， 因此圆柱体体积公式也可以用类似方法求得。 第二 ，由因果联系的事物形成的因果联想。当对数学问题进行分析时，常常要把有关对象作 为一种结果，联想产生它的原因 ；或反过来 ，把它作为原因 ，联想它产生的结果。例如，运用分 析法和综合法解应用题时，就是以联想为中介的，根据题中的问题，联想到解决它所需要的条件 ， 或由题中的两个条件 ，联想到所能解决的问题。 第三，由对比关系形成的对比联想。对具有相反关系或对比关系的数学问题也会产生联想。 例如，学习分数基本性质时，由分子、分母同时扩大同数倍 ，分数大小不变 ，然后又联想到分子、 分母同时缩小同数倍 ，分数大小也不变。 12 问题 10 ：解题的思维方法“一般化与特殊化” 一般化是指把研究对象或问题从原有的范围扩大到更大范围进行考察的思维方法。一般化是 一种特殊的概括，但并不能说就等于概括。概括的特点是把若干个事物或对象的共同点归结在一 起，而一般化的特点是把个别事物或对象推广到更普遍的情形。概括是从若干个事物或对象中发 现共同规律，是寻求同一性的思维方法。一般化是把某一事物或对象的有关性质加以保留，并置 于更大范围的相关事物或对象中加以考察，是利用事物之间的相似性进行思维的方法。 例 1. 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数（0 除外），所得的分数与原分数哪个大？ 2 2 4 6 分