线性代数第六章.pptVIP

化为标准形 另一方面 作可逆线性变换 即 当前第31页\共有47页\编于星期二\13点 则原二次型f 又可化为标准形 比较 f 的二个标准形，可以发现 f 的标准形虽然不唯一，但是 f 的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。 当前第32页\共有47页\编于星期二\13点 定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型 不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的，且p+q=r . 定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=XAX的标准形中，正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们的差p-q称为二次型 f 的符号差。 当前第33页\共有47页\编于星期二\13点 （优选）线性代数第六章 当前第1页\共有47页\编于星期二\13点 第一节 二次型 定义1 n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式 称为一个n元二次型，简称二次型。 (6.1) 当所有系数aij为复数时,称f 为复二次型； 当所有系数aij为实数时,称f 为实二次型。 当前第2页\共有47页\编于星期二\13点 取 ，则有 从而(6.1)式可写成 当前第3页\共有47页\编于星期二\13点 当前第4页\共有47页\编于星期二\13点 令 当前第5页\共有47页\编于星期二\13点 则用矩阵将二次型(6.1)可写成 其中矩阵A为实对称矩阵。 由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f 中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i ≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。 我们称对称阵A为二次型f 的矩阵,称矩阵A的秩为二次型 f 的秩。 当前第6页\共有47页\编于星期二\13点 例1 将二次型 表示为矩阵形式,并写出 f 的矩阵和 f 的秩。 解: 当前第7页\共有47页\编于星期二\13点 因此，f 的矩阵为 由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。 当前第8页\共有47页\编于星期二\13点 定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使 (6.3) 成立。则称此关系式为由变量 x1,x2,...,xn到变量 y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。 当前第9页\共有47页\编于星期二\13点 设 则(6.3)可以写成以下矩阵形式 当|C|≠0时,称X=CY为可逆(或非退化)线性变换. 当前第10页\共有47页\编于星期二\13点 显然,可逆线性变换是一一对应的 在处理许多问题时, 常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换 X=CY, 则 记 ,上式为 当前第11页\共有47页\编于星期二\13点 因为A是对称矩阵, 所以 即B也是对称矩阵, 从而 是一个关于变量 的n元二次型,于是得到下面的定理 后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为 定理1二次型 经可逆线性变换 之 定义3 对于两个n阶矩阵 A、B，若存在n阶可逆矩阵C ，使 ，则称矩阵 A与B合同。 当前第12页\共有47页\编于星期二\13点 矩阵的合同关系与相似关系类似, 也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。 由定理1可知, 经过可逆线性变换后, 新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。 当前第13页\共有47页\编于星期二\13点 第二节 化二次型为标准形 定义1 只含平方项而不含交叉项的二次型: 称为标准形式的二次型,简称为标准形。 显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交变换法和配方法。 当前第14页\共有47页\编于星期二\13点 一、正交变换法 定理1 任意一个n元二次型 (A实对称)总可以经过正交变换X=QY (Q为正交矩阵)化为标准形 (6.6) 其中? 1, ? 2,..., ? n是矩阵A的全部特征值。 式(6.6)称为二次型在正交变换下的标准形。 证：因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交矩阵Q，使得 当前第15页\共有47页\编于星期二\13点 其中? 1, ? 2,..., ? n是矩阵A的全部特征值。作正交变换X=QY，则 当前第16页\共有47页\编于星期二\13点 在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到定理1，