第七讲矩阵的秩线性方程组的解演示文稿.pptVIP

即得与原方程组同解的方程组 当前第31页\共有44页\编于星期三\8点 第七讲矩阵的秩线性方程组的解演示文稿 当前第1页\共有44页\编于星期三\8点 （优选）第七讲矩阵的秩线性方程组的解 当前第2页\共有44页\编于星期三\8点 3. 初等变换的应用: （3）求XA=B （1）求A-1 （2）求AX=B 当前第3页\共有44页\编于星期三\8点 第二节 矩阵的秩 一. 矩阵秩的概念 二. 矩阵秩的求解 当前第4页\共有44页\编于星期三\8点 一、矩阵秩的概念 矩阵的秩 当前第5页\共有44页\编于星期三\8点 如：矩阵 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素， 二阶子式是 组成的 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 易见 当前第6页\共有44页\编于星期三\8点 最低阶为 阶， 最高阶为 阶. 当前第7页\共有44页\编于星期三\8点 注: 显然, 中不等于零的子式的最 矩阵 的秩是 高阶数. 矩阵的秩具有下列性质: (1) 若矩阵 中有某个 阶子式不为0, 则 (2) 若 中所有 阶子式全为0, 则 (3) 若 为 矩阵, 则 (4) 当前第8页\共有44页\编于星期三\8点 例1 求矩阵 解 在 中, 又 的3阶子式只有一个 且 的秩. 当前第9页\共有44页\编于星期三\8点 例2 解 当前第10页\共有44页\编于星期三\8点 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 当前第11页\共有44页\编于星期三\8点 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解 当前第12页\共有44页\编于星期三\8点 当前第13页\共有44页\编于星期三\8点 当前第14页\共有44页\编于星期三\8点 当前第15页\共有44页\编于星期三\8点 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 当前第16页\共有44页\编于星期三\8点 当前第17页\共有44页\编于星期三\8点 则这个子式便是 的一个最高阶非零子式. 故A中必有3阶非零子式，计算A的前三行构成的子式 当前第18页\共有44页\编于星期三\8点 当前第19页\共有44页\编于星期三\8点 例 设 为 阶非奇异矩阵, 为 矩阵. 试证: 与 之积的秩等于 的秩, 即 证 因为 非奇异, 故可表示成若干初等矩阵之积, 皆为初等矩阵. 即 是 经 次初等行变换后得出的. 因而 证毕. 注: 由矩阵的秩及满秩矩阵的定义, 显然, 若一个 阶矩阵 是满秩的, 则 因而 非奇异; 反之亦然. 当前第20页\共有44页\编于星期三\8点 三、小结 (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 定理 等价矩阵的秩相等 当前第21页\共有44页\编于星期三\8点 结论 矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 当前第22页\共有44页\编于星期三\8点 主要内容 线性方程组解的存在性 线性方程组的解法 第三节 线性方程组的解 当前第23页\共有44页\编于星期三\8点 解向量 线性方程组 A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵 当前第24页\共有44页\编于星期三\8点 同解方程组为 同解方程组为 当前第25页\共有44页\编于星期三\8点 线性方程组的解有下列三种情况： 无解 有无穷解 有惟一解 当前第26页\共有44页\编于星期三\8点 当前第27页\共有44页\编于星期三\8点 同解方程组为 同解方程组为 当前第28页\共有44页\编于星期三\8点 求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解） 当前第29页\共有44页\编于星期三\8点 例1 求解齐次线性方程组 解 当前第30页\共有44页\编于星期三\8点