全国大学生数学竞赛试题及答案 .pdf

河 北 省 大 学 生 数 学 竞 赛 试 题 及 答 案 1 2 2 2  2 2 一、(本题满分 10 分) 求极限lim ( n 1  n 2   n (n 1) ) 。 n n 2 1 2 2 2  2 2 【解】 S  ( n 1  n 2   n (n 1) ) n n 2 1 因 1x 2 在 [0,1] 上连续，故  1- x 2 dx 存在，且 0 n1 i 1 1 1- x 2 dx = lim  1( )2 . ， 0 n n n i0 1  1 1 lim S  2  2 所以， 1- x dx lim  1- x dx  。 n n 0 n n 0 4 2 1 t dt 二、(本题满分 10 分) 请问 a,b, c 为何值时下式成立lim x c. x 0 sin x ax b 1t 2 a 【解】注意到左边得极限中，无论 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有b 0 ，当b 0 时使用洛必达法则得到 2 2 1 t dt x lim x lim ， x 0 sin x ax 0 1t 2 x 0 (cosx a) 1x 2 x 0 a 1 0 a 1 由上式可知：当 时，若 ，则此极限存在，且其值为 ；若 ，则