第十章对策论与极大极小控制.pptVIP

将上式左右积分号下同减 得 当前第62页\共有120页\编于星期三\9点 将（10-58）与（10-60）代入上式，得 （10-63） 注意到（10-61）式，可得 （10-64） 当前第63页\共有120页\编于星期三\9点 同理，若任取 ，记状态方程相对于 的解为 ，则可以推得 （10-65） 式（10-64）和（10-65）说明鞍点条件（10-21）成立， 确实是最优策略，充分性得证。 当前第64页\共有120页\编于星期三\9点 设追逐者的控制量是它的加速度 ，它垂直于指向逃逸者的初始视线。逃逸者的控制量为 它也垂直于初始视线。设 是垂直于初始视线的追—逃者之间的相对位置， 为其相对速度（见图10-5）。则相对运动的微分方程为 例10-3 加速度有限时的追—逃问题 （10-66） 当前第65页\共有120页\编于星期三\9点 图10-5 追—逃问题示意图 追逐者希望使用（其控制量决策） 使终端脱靶量 最小；而逃逸者则希望使用控制量 使得 最大。故性能指标可选为 （10-67） 当前第66页\共有120页\编于星期三\9点 下面来寻求最优对策解。首先构成哈密顿函数，令 追逐者和逃逸者的加速度都有限： （10-68） 则 （10-69） 当前第67页\共有120页\编于星期三\9点 共轭方程为 注意到这里哈密顿函数是控制量 和 的线性函数。 于是， （10-70） 而最优策略可由（10-69）式所示的哈密顿函数 取极值得到，为 （10-71） 当前第68页\共有120页\编于星期三\9点 将（10-70）积分，得 （10-72） 由上式，有 （10-73） 将（10-73）代入（10-72）和（10-71），并将所得的 和 代入运动方程（10-66），再积分之，可得其解为： （10-74） 当前第69页\共有120页\编于星期三\9点 由上式右端可见，若 这表明由初始相对速度引起的位移大于由于机动加速度引起的位移。则从（10-74）可得出解 反之，若 则可得出解 。 当前第70页\共有120页\编于星期三\9点 于是有 （10-75） 式中，可将最优策略 看成 ， 为 ；令非最优策略为 因为 ，由（10-75）可得出 所以鞍点条件满足。 即 当前第71页\共有120页\编于星期三\9点 （10-74）无解。事实上，对于（10-76）这样的初始条件范围，追逐者总有可能使脱靶量为零。 注意，对于 （10-76） （10-77） 便可做到这一点。这种问题已不是双方对策问题了。 例如，只要选择 使 当前第72页\共有120页\编于星期三\9点 设A为拦截卫星，B为目标卫星。A欲控制自己，使在给定时间内尽可能接近B；B则控制自己，使在此时间内尽可能远离A。 例10-4 近地圆形轨道上的卫星拦截问题 A、B两卫星的相对运动可用下面的状态方程表示 （10-78） 当前第73页\共有120页\编于星期三\9点 式中， 是两卫星之间的相对距离在直角坐标系上的投影分量； 是卫星运行的角速率； 分别为作用在A、B卫星上的单位质量所受的推力幅值； 是 在直角坐标系中的两个方向角； 是 直角坐标系中的两个方向角。 性能指标是终端时间的相对距离的平方，即 （10-79） 对于卫星A，将选 使 尽可能小；对B，则将选 使得 尽可能大。 当前第74页\共有120页\编于星期三\9点 求解过程如下： 哈密顿函数 ，共轭方程及其他边界条件可求得为 （10-80） 当前第75页\共有120页\编于星期三\9点 （10-81） 当前第76页\共有120页\编于星期三\9点 （10-82） 当前第77页\共有120页\编于星期三\9点 （10-83） 由于 对 连续，双方极值原理可由（10-56）式给出。因为 当前第78页\共有120页\编于星期三\9点 由 和 分别可得 由此可得 （10-84） 或 当前第79页\共有120页\编于星期三\9点 由 和 可分别求得 考虑到（10-84）式，又可得 或 （10-85） 当前第80页\共有1