证明圆的切线方法 .docx

∴AD⊥BC.又∵AB=BC， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. ⌒ 又∵OB=OE，OF=OF， 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线 是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线 l 过⊙O 上某一点 A，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA，证明 OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D，交AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结 OE，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒ ⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， 例 2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长 AD 交⊙O 于E，连结 OA，OE. ∴∠B=∠C.∵OB=OD， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运 用. 例 3 如图，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于 D，DM⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切. 证明一：连结 OD. ∵AB=AC， ∵DM⊥AC， D ∴DM⊥OD. ∴DM 与⊙O 相切 ∴∠BOC=∠A+ ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. C ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900.即 OD⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂 直的，解题中注意充分利用已知及图上已知. 例 4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB， D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结 OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠300. 求证：PC 是 求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结 OC ∵OA2=OD·OP，OA=OC， ∴OB=BC. D ∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好. 例 5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且 OA2=OD·OP. ∴OC2=OD·OP， OC OP . OD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD ∵ABCD 是正方形， ∵ABCD 是正方形， ∴BC⊥CD，△CFG 是 Rt△ ∵O 是 FG 的中点， 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切. 分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CE⊥OC 即可得解. 证明：取 FG 中点 O，连结 OC. ∴O 是 Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE， ∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS） ∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.即 CE⊥OC. ∴CE 与△CFG 的外接圆相切 二、若直线 l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证