有限元综合实验报告.doc

有限元方法及其程序设计 综合实验报告 目录 第一部分 一．上机题目 二．作业要求 第二部分 一．求偏分方程的变分形式 二．区域剖分 三．构造有限元子空间 四．建立有限元方程 五．边界条件处理 六．求解代数方程组并输出刚度矩阵 第三部分 一.输出各节点处的计算结果 二.图形显示结果，并做误差分析比较 附录 MATLAB有限元设计程序 第一部分 一、上机题目 求解下列方程 （1） 其中求解区域，边界，，，，，n表示单位外法向量。 二、作业要求 按照有限元方法的以下计算流程完成作业： 求出方程的变分形式； 区域剖分； 构造有限元子空间； 建立有限元方程； 边界条件处理； 求解代数方程组。 第二部分 一．求偏分方程的变分形式 图1 求解区域及边界示意图 令检验、试探函数空间分别为： 利用Green公式，求方程（1）的变分形式 求，使得 （2） 其中，， , , 变分形式的计算过程如下： 将原方程左右两边同时乘以，在内积分，利用Green公式可得： 左边= = = = = （3） 右边= （4） 即 =+ =+ （5） 二．区域剖分 采用三角形单元对进行剖分。对方向均N等分（这里取N=4），计。h的选取必须保证把四个边界的交点如（0,0）和（0,1）（1,0）（1,1）作为节点。首先对节点的总体编码，（如图2）。然后在每个单元上对节点进行局部编码，生成总体编码和局部编码的对照表，如表2所示。 对于节点，从边界条件可以确定函数值的节点为Ⅰ类节点，个数为NE（NE=9）。未知函数值的节点为Ⅱ类，将对Ⅱ类每一个节点变量建立一个方程，故Ⅱ类节点的个数NF（即总节点数，本例中NF=16）是有限元空间的维数。对于Ⅱ类节点，确定影响元素集和影响节点集， 如表1所示。 图2 求解区域网格剖分示意图 表1 类节点、影响元素集、影响节点集对照表 （节点） （影响元素集） （影响节点集） 7 2 3 4 9 10 11 2 3 6 7 8 11 12 8 4 5 6 11 12 13 3 4 7 8 9 12 13 9 6 7 8 13 14 15 4 5 8 9 10 13 14 10 8 15 16 5 9 10 14 15 12 10 11 12 17 18 19 7 8 11 12 13 16 17 13 12 13 14 19 20 21 8 9 12 13 14 17 18 14 14 15 16 21 22 23 9 10 13 14 15 18 19 15 16 23 24 10 14 15 19 20 17 18 19 20 25 26 27 12 13 16 17 18 21 22 18 20 21 22 27 28 29 13 14 17 18 19 22 23 19 22 23 24 29 30 31 14 15 18 19 20 23 24 20 24 31 32 15 19 20 24 25 22 26 27 28 17 18 21 22 23 23 28 29 30 18 19 22 23 24 24 30 31 32 19 20 23 24 25 25 32 20 24 25 表2 点局部编码与整体编码对照表 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 Ⅰ 1 7 2 8 3 9 4 10 6 12 7 13 8 14 9 15 Ⅱ 2 6 3 7 4 8 5 9 7 11 8 12 9 13 10 14 Ⅲ 6 2 7 3 8 4 9 5 11 7 12 8 13 9 14 10 十七 十八 十九 二十 二一 二二 二三 二四 二五 二六 二七 二八 二九 三十 三一 三二 Ⅰ 11 17 12 18 13 19 14 20 16 22 17 23 18 24 19 25 Ⅱ 12 16 13 17 14 18 15 19 17 21 18 22 19 23 20 24 Ⅲ 16 12 17 13 18