知识讲解解三角形的应用举例提高.docx

如果对你有帮助，请下载使用！ 如果对你有帮助，请下载使用！ PAGE PAGE 3 解三角形的应用举例 编稿：张林娟 审稿：孙永钊 【学习目标】 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题； 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法； 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法. 【要点梳理】 要点一：解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形 问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是： 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关 系； 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确. 实际问题画图 实际问题 画图 解三角形 数学问题 数学问题的解 检验 实际问题的解 要点三：实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目 标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示： 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字 母 i 表示.坡比是坡角的正切值 . 方位角与方向角： 方位角： 一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角 . 方位角的取值范围为 0°～ 360°. 如图，点B 的方位角是? ? 1350 . 方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成 的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度. 如图为南偏西600 方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转600 ）； 如图为北偏东300 方向（指从正北开始向正东方向旋转300 ）： 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等； 要点四：解三角形应用中的常见题型 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有： 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中， 要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高. 【典型例题】 类型一：距离问题 例 1. 如图， A、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D ，测得CD ? 40m ，并且在C、D 两点分别测得?ACB ? 600 ，?ADB ? 600 ，?BCD ? 300 ，?ADC ? 450 ，求河的对岸的两点 A、B 间的距离. 【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的两点之间的距离测量问题. 题目条件告诉了边CD 的 长以及以C、D 为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理、正弦定理很容易算出 AC、AD、BC 或 BD ；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离. 【解析】 在?ADC 中， ?BCD ? 300 ， ?ACB ? 600 ， ?ADC ? 450 ?ACD ? ?ACB ? ?BCD ? 600 ? 300 ? 900 ， 在Rt ?ADC 中， AD ? CD ? 40 ? 40 2（m ） cos?ADC sin 450 在?BDC 中， ?ADB ? 600 ， ?BCD ? 300 ， ?ADC ? 450 ， ?BDC ? ?ADB ? ?ADC ? 600 ? 450 ? 1050 ， ?DBC ? 450 由正弦定理得： BD ? CD sin ?BCD 40sin30 0 ?  ? 20 2 （m） 6sin ?DBC sin 450 6 AD2 ? BD2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD ? BD cos600  ? 20  ?m? 6故 A、B 间的距离为20 m. 6 【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程 中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来. 举一反三： 【变式 1】如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的