正余弦定理完美教案.docx

正余弦定理教案 教学标题 正余弦定理及其应用 熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式 教学目标 会用正余弦定理解三角形 会做综合性题目 教学重难点 授课内容： 梳理知识 正弦定理、余弦定理的综合应用 a b c 正弦定理: ? ? ? 2R 或变形： a : b : c ? sin A :sin B :sin C . sin A sin B sin C ?cos A ?  b2 ? c2 ? a2 2bc ?a2 ? ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ??? ? ? a2 ? c2 ? b2 余弦定理： ?b2 ? ? a2 ? c2 ? 2ac cos B 或 ?cos B ? 2ac . ?c2 ? b2 ? a2 ? 2ba cos C ?cos C ? b2 ? a2 ? c2 ? ? 2ab 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两 角. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 解题中利用?ABC 中 A ? B ? C ? ? ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变 换的运算，如： sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C, sin A ? B C ? cos ,cos A ? B C ? sin , tan A ? B C ? cot . 2 2 2 2 2 2 典型例题 探究点一 正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求角 A、C 和边 c； (2)在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边 b 和 c. 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但 要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a、b 和 A，求B.若A 为锐角，①当a≥b 时，有一解；②当a＝bsin A 时，有一解；③当bsin Aab 时，有两解；④当absin A 时，无解．若A 为直角或钝角， ①当 ab 时，有一解；②当a≤b 时，无解． a 解 (1)由正弦定理 ＝ b 3 得，sin A＝ . sin A sin B 2 ∵ab，∴AB，∴A＝60°或A＝120°. 当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， c bsin C 6＋ 2 ＝ sin B ＝ 2 ； 当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， c bsin C 6－ 2 ＝ sin B ＝ 2 . 综上，A＝60°，C＝75°，c＝ 6＋ 2 或 A＝120°，C＝15°，c＝ 2 ， 6－ 2 2 . (2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°. a b c 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C， b a·sin B a·sin C 得 ＝ sin A ＝4 6，c＝ sin A ＝4 3＋4. ∴b＝4 6，c＝4 3＋4. 变式迁移 1 在△ABC 中，若tan 1  150°，BC＝1，则 AB＝ ； A＝3，C＝ (2)在△ABC 中，若 a＝50，b＝25 6，A＝45°，则 B＝ . 探究点二 余弦定理的应用 例 2 已知a、b、c 分别是△ABC 中角A、B、C 的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B 的大小； 若c＝3a，求tan A 的值． 解 (1)∵a2＋c2－b2＝ac， B a2＋c2－b2 1 2∴cos ＝ 2 2ac ＝ . ∵0Bπ B π ，∴ ＝ 3 . (2)方法一 将c＝3a 代入a2＋c2－b2＝ac，得 b＝ 7a. A b2＋c2－a2 5 7 由余弦定理，得cos ∵0Aπ ， ＝ 2bc 21 ＝ 14 . ∴sin A＝ 1－cos2A＝ 14 ， A sin A 3 ∴tan ＝ cos A＝ 5 . 方法二 将 c＝3a 代入a2＋c2－b2＝ac，得 b＝ 7a. 由正弦定理，得sin B＝ 7sin A. B π A 21 由(1)知， ＝ 3 ，∴sin ＝ 14 . 又 b＝ 7aa，∴BA， 5 7 ∴cos A＝ 1－sin2A＝ 14 . A sin A 3 ∴tan ＝ cos A＝ 5 . 方法三 ∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A. B π C π A B 2π －A， ∵ ＝ 3 ，∴ ＝