中心极限定理.ppt

5.2 中心极限定理（Central limit theoem) 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：X123456P中心极限定理的客观背景xP654321 掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为：X=X1+X223456789101112PxP12111098765432 掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：X345678910P X1112131415161718P x03456789101112131415161718掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：?X近似服从正态分布 中心极限定理的客观背景例:20个0-1分布的和的分布?X近似服从正态分布 中心极限定理的客观背景X1 ~f(x)X=X1 +X2~g(x)X=X1 +X2+X3~ h(x)0123xfgh?X近似服从正态分布 什么是中心极限定理？阐述大量的相互独立的随机变量的线性组合在一定条件下近似服从正态分布的一系列定理称为中心极限定理 讨论2种简单情形.独立同分布下的中心极限定理德莫佛-拉普拉斯定理(二项分布的正态近似) 大量随机变量之和近似服从正态分布的条件是什么？ 问题： 5.2.1 独立同分布中心极限定理 若随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，有有限数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=?2.近似～近似～ 设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，有有限数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=?2.若随机变量序列定理5.2.1（独立同分布中心极限定理） 5.2.2 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理 Yn = X1＋ X2＋…＋ XnXi ~ B( 1, p )，相互独立，并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p) 若随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有 中心极限定理的意义与作用它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 定理的应用 对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2，那么，当n充分大时， 近似计算公式 若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有特别地： 讲讲练练 例1.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出300只蛋糕，求这天的收入至少400元的概率。解：用Y表示这天的收入，Xi为售出第i只蛋糕的价格，则Xi11.21.5Pi0.30.20.5 Xi11.21.5Pi0.30.20.5 由独立同分布中心极限定理，这天的收入至少400元的概率为： 设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解：设各电器元件的寿命为X1,X2, …X16例2.近似～ 则16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率为近似～ 例3.设某学校有1000名住校生，每人每天都以80%的概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？解：设每天去图书馆上自习的同学有X又设图书馆至少设n个座位才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位。 ∴由棣莫夫 — 拉普拉斯中心极限定理，有 练一练1.设射击命中率为0.1，连续独立射击100次，X表示命中的次数，则用中心极限定理估算解：设Xk表示第k次命中的次数，则Xk01pk0.90.1近似～ 则由中心极限定理： 2.某工厂有100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%。利用中心极限定理计算任意时刻有70至86台车床在工作的概率。 解: 设任意时刻有X台车床在工作练一练 练一练3.在次品率为?的一大批残品中，任意抽取360件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在50与70之间的概率解：设抽取的产品中次品件数为X 1二项分布(精确结果）2中心极限定理3泊松分布4切比雪夫不等式的几个近似值比较