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第 1 章 索洛增长模型
1.1 增长率的基本性质。利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：
（a ）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。即，若Z （t ）＝X （t ）Y （t ），则：
Z (t ) Z (t ) [X (t ) X (t )][Y (t ) Y (t )]
（b ）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。即，若Z （t ）＝X （t ）/Y （t ），则：
Z (t ) Z (t ) [X (t ) X (t )][Y (t ) Y (t )]
α
（c ）若Z （t ）＝X （t ） ，则Z (t ) Z (t ) αX (t ) X (t ) 。
证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z (t ) d ln Z (t ) d ln[X (t )Y (t )]
Z (t ) dt dt
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
Z (t ) d[ln X (t ) lnY (t )] d ln X (t ) d lnY (t )
Z (t ) dt dt dt
再简化为下面的结果：
Z (t ) X (t ) Y (t )
Z (t ) X (t ) Y (t )
则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z (t ) d ln Z (t ) d ln[X (t ) Y (t )]
Z (t ) dt dt
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
Z (t ) d[ln X (t ) lnY (t )] d ln X (t ) d lnY (t )
Z (t ) dt dt dt
再简化为下面的结果：
Z (t ) X (t ) Y (t )
Z (t ) X (t ) Y (t )
则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
α
Z (t ) d ln Z (t ) d
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