【教案】1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题-教案-人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册.docx

科 数学 主讲人 课型 常规课 教案序号 1 授课题目 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 授课时间 课标要求 会用向量的方法解决简单的距离、夹角问题 教材分析 这节课位于新教材选修课第一册第一章第四节第二课时的内容，这节课的目标是空间向量的应用，如何利用空间向量解决距离和夹角问题 学情分析 虽然学生已经学习的空间向量，可向量的应用能力还不够，需要教师多加引导，与学生共同推导出求距离与夹角问题的公式，并让学生在练习中掌握。 教学目标 知识与技能.：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题； 过程与方法：通过具体实例，求解距离，角度问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 情感态度与价值观：体会转化的思想，了解解决距离，角度的程序 教学重点 理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤. 教学难点 辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角. 教学方法 引导发现法 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一： 课前2分钟 让学生回忆以前如何求点到点，点到直线的距离 回忆并回答 环节二： 课堂导入 （一）新课导入 复习：上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？ （1）空间中点、直线和平面的向量表示；（2）空间中直线、平面的平行；（3）空间中直线、平面的垂直. 这节课我们继续学习用空间向量研究距离、夹角问题. 学生复习与回答 让学生思考向量除了可以研究直线、平面的位置关系以外，是否还有其它运用，引出新课 环节三： 新课讲授 探究一 用空间向量解决距离问题 问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？ （学生自主思考，举手回答，教师总结） 包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等. 直观感受得出立体几何中的距离问题 引出本节课的重点内容 1. 点到直线的距离 问题2 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 如图，向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形.因为A，P都是定点，所以与u的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. 设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得. 问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ （学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师最后总结） 答：在其中一条直线上取点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离 思考并推导 利用向量求点到直线的距离的方法由教师与学生共同推导出来，让学生多思考，多发言，老师进而纠正及引导，让学生深刻地了解到向量解决问题的方向 2. 点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此. 例1 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线的距离； （2）求直线FC到平面的距离. 类比点到线的距离公式推导，进而推导出点到面的距离公式 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 探究二 用空间向量解决夹角问题 1. 异面直线所成的角及直线与平面所成的角 例2 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则 . 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 . 通过直线的方向向量的夹角得到异面直线的夹角和直线与平面的夹角，从而求其夹角的余弦值 让学生探究得到的结论更能加深学生的理解 2. 两平面的夹角 如下图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则 . 例3 如图，在直三棱柱中，，P为BC的中点，点Q，R分