杆梁结构的有限元分析原理.ppt

杆梁结构的有限元分析原理;杆梁单元概述;本章主要内容;4.1有限元分析的完整过程;问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解 基本变量为： ;完整的求解过程;2）单元分析 单元位移模式：u(x)=a0+a1x 单元节点条件：u(0)=u1， u(1)=u2 从而得：;回代得 写成矩阵形式为;根据几何方程可得应变的表达 写成矩阵形式为 简记为;根据物理方程可得应力的表达 写成矩阵形式为 简记为;势能的表达 ;写成矩阵形式为;3）离散单元的装配 在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分;4）边界条件的处理 处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式;5）建立刚度方程 由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有 ;6）求解节点位移 将结构参数和外载荷代入上式有 求解得（单位m）;7）计算单元应变;8）计算单元应力;9）计算支反力 对于单元势能的表达，对其取极值有 具体地对于单元1，有 其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。;以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。 讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元所受的节点力。;讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整体刚度矩阵。 其物理意义是，表示在未处???边界条件前的基于节点描述的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。;4.2有限元分析的基本步骤及表达式;4.2有限元分析的基本步骤及表达式;4.3杆单元及其坐标变换;变截面杆单元的推导;变截面杆单元的推导;4.3杆单元及其坐标变换;第二十八页，共九十二页，2022年，8月28日;第二十九页，共九十二页，2022年，8月28日;第三十页，共九十二页，2022年，8月28日;第三十一页，共九十二页，2022年，8月28日;第三十二页，共九十二页，2022年，8月28日;第三十三页，共九十二页，2022年，8月28日;第三十四页，共九十二页，2022年，8月28日;4.3杆单元及其坐标变换-局部坐标;回代得 写成矩阵形式为;根据几何方程得 根据物理方程得 从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析;杆单元的坐标变换;;其中是一个单位正交矩阵，单位正交矩阵的逆即等于其转置。 ;第四十一页，共九十二页，2022年，8月28日; 由于单元的势能是一个标量(能量)，不会因坐标系的不同而改变，因此，可将节点位移的坐标变换关系代入原来基于局部坐标系的势能表达式中， ;根据;第四十四页，共九十二页，2022年，8月28日;1 结构的离散化与编号 ;2各个单元的矩阵描述 ;3 建立整体刚度方程 ;4 边界条件的处理及刚度方程求解 ;第四十九页，共九十二页，2022年，8月28日;5 各单元应力的计算 ;6 支反力的计算 ;基于MATLAB平台求解该;单元的刚度矩阵的计算;总刚度矩阵的组装;（3） 建立整体刚度方程 ;基于ANSYS求解该;对于单元2：取i=1，j=2，则 ，故 ;整体编号，对号入座得总刚;;杆单元的坐标变换-空间;整体和局部的坐标转换关系与平面问题一致。;ANSYS应用实例2;4.4梁单元及其坐标变换;纯弯梁单元;; 根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。 ;单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为