七年级数学上册专题12 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练（解析版）.docxVIP

PAGE / NUMPAGES 专题12 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练 线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。 【知识储备】 1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程； 2.线段等量代换模型： 若，则，即 3.定和型中点模型： 若，分别是，的中点，则 线段的动点问题解题步骤： 1.设入未知量t表示动点运动的距离； 2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3.根据题设条件建立方程求解； 4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 【动点问题】 题型1：线段中点有关的动点问题 例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ，∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 题型2：线段和差倍分关系中的动点问题 例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)7(2)3或5 【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长． (1)，，，， 如图1， 为中点，， ，∴， ∴， (2)Ⅰ、当点在点的左侧