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课件：高中数学——正态分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线 的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ] ，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ －3σ，μ＋3σ] 内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 知识点一 正态曲线与正态分布 2 (x ) 1  2 1.我们称f (x) ＝ e 2 ，x ∈R ，其中μ∈R ，σ0为 σ 2π 参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲 线，简称正态曲线. 2.若随机变量X 的概率密度函数为f (x) ，则称随机变量 2 X 服从正态分布，记为X ～N(μ，σ ) .特别地，当μ＝0 ， σ＝1时，称随机变量X 服从标准正态分布. 2 3.若X ～N(μ ，σ ) ，如图所示，X 取值不超过x 的概率 P(X≤x)为图中区域A 的面积，而P(a≤X≤b)为区域B 的面积. (x )2  1 2 2 思考1 正态曲线f (x) ＝ e ，x ∈R 中的参数μ， 2πσ σ有何意义？ 答案 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数， 2 E(X ) ＝μ；σ0表示标准差，D(X ) ＝σ . 一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数， x为自变量，x ∈R. 2 思考2 若随机变量X ～N(μ，σ ) ，则X 是离散型随机 变量吗？ 2 答案 若X ～N(μ，σ ) ，则X 不是离散型随机变量，由正 态分布的定义：P(aX≤b)为区域B 的面积，X 可取(a ，b] 内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随 机变量. 知识点二 正态曲线的特点 1.对∀x ∈R ，f (x)0 ，它的图象在x轴的上方. 2. 曲线与x轴之间的面积为 . 1 3. 曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ 对称. 1 4. 曲线在x ＝μ 处达到峰值σ 2π . 5.当|x |无限增大时，曲线无限接近 轴. x 6.当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线 σ μ 随着 的变化而沿x轴平移，如图①. 7.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦 高”，表示随机变量X 的分布比较集中；σ较大时，曲 线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图②. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7 ； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5 ； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3 . 尽管正态变量的取值范围是( －∞，＋∞) ，但在一次 试验中，X 的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ] 内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7 ，通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.