初三数学一元二次方程讲义教案章节练习总练习.docx

【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生 【要点综述】： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。 在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知， 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程，一般式为： 。 一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程。 因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理，如能整理为 的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x ? 2  ? 1 ? x 2 （1） 3x ? 2 ? 5x ? 3 ,（2） x 2 ? 4 ,（3） x ? 1 ,（4） x 2 ? 4 ? (x ? 2)2 (5)3x2+x=20，(6)2x2-3xy+4=0，(7)x2- 1 x =4，(8)x2=0，(9)x2- +3=0 x 3 2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 1） 6 y 2 ? y 2）（x-2）(x+3)=8 3） (x ? 3)(3x ? 4) ? (x ? 2)2 4) 2x 2 ? 2 ? 3x 5)2x(x-1)=3(x-5)-4 6) ?2 y ? 1?2 ? ?y ? 1?2 ? ?y ? 3??y ? 2? 3、?x ? 4?2 ? 5 ? 6x 化成一般形式是 ，其中一次项系数是 4、方程 x 2 x ? 0 的一次项系数是 ，常数项是 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。 一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表： 方法 直接开平方法配方法 公式法 适合方程类型 注意事项 ≥0 时有解， ＜0 时无解。 二次项系数若不为 1，必须先把系数化为 1， 再进行配方。 ≥0 时，方程有解； ＜0 时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法 方程的一边为 0，另一边分 解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是 0，另一边可用任何方法分解因式。 例 1 ：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1） ； （2） （3） ； （4） 分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形 如 其解为方法好做； 的方程， 。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平 第（3）题因方程左边可变为完全平方式 ，右边的121＞0，所以此方程也可用 直接开平方法解； 第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。 解：（1） ∴ （注意不要丢解） 由 得 ， 由 得 ， ∴原方程的解为： ， （2） 由 得 ， 由 得 ∴原方程的解为： ， （3） ∴，∴∴ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴原方程的解为： ， （4） ∴ ，即 ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解为： ， 程两边同时开方时， 只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。 【附训练典题】 （1） （1） ； （2） ； （3）；（4）.（5） x2 ? 225 ； （6） y （3） ； （4） . （7） (x ?1)2 ? 9 ； （8） (2 x ?1)2 ? 3 ； （9） (6 x ?1)2 ? 25 ? 0 ． （10） 81(x ? 2)2 1 ? 16 ． （11） 5(2 y ?1)2 ? 180 ； （12） (3x ?1)2 ? 64 ； 4 （13） 6( x ? 2)2 ? 1 ； （14） (ax ? c)2 ? b(b ≥ 0，a ? 0) （1）；（ （1） ；（2） 分析：用配方法解方程次项系数化为 1， ，应先将常数 移到方程右边，再将二 变为 的形式。第（1）题可变为 ，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方， 即： ，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于 0 的常数， 即： ， 接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。 解：（1） 二次项系数化为 1，移常数项得： ， 配方得： ，即 直接开平方得： ∴ ， ∴原方程的解为： ， （2） 二次项系数化为 1，移常数项得： 方程两边都加上一次项系数一半的平方得： 即 直接开平方得： ∴ ， ∴原方程的解为： ， 说明： 说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下