高三一轮复习 第3讲 第二章 2.3 基本不等式复习讲义(教师版).doc

PAGE 1 PAGE 2 第3讲 第二章 2.3基本不等式复习讲义 1.平均值不等式 1．定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立． 其中叫做正数的算术平均值，叫做正数的几何平均值． 2. 定理（常用不等式）：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立． 3. 活用几个重要的不等式 (1) ；(2) (同号)；(3) ． 4. 利用基本不等式求最值问题 已知，则 (1) 如果是定值，那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)； (2) 如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)． 总结：应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ① 一正：要求各数均为 正数????; ② 二定：要求和或积为 定值????; ③ 三相等：要保证具备 等号??成立的条件. 5. 重要不等式链 1）若，则≥≥≥. 2）设,则有≤≤≤(当且仅当时取等号). 其中为调和平均值,为几何平均值,为算术平均值,为平方平均值. 2. 三角不等式 定理（三角不等式） 对任意的实数a、b，有，且等号当且仅当时成立. 另有： 题型一、平均值不等式概念辨析 例1. 下面四个推导过程正确的有 （1）若为正实数，则； （2）若，，则； （3）若，，则； （4）若，则. 【答案】（1）（3）　 练1：设为正数，且，则下列各式中正确的一个是(　　)B A. ； B.； C.； D．. 【解析】因为ab≤，所以，当且仅当时等号成立． 练2.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 题型二、利用平均值不等式比较大小 例2. (1)如果，，，，那么的大小顺序是( B ) A． B． C． D． (2)设为非零实数，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是________．(填序号)【答案】　①② 练1：设实数满足，则，，中最大的是______ 【解析】因为,；所以,又因为, 又因为,且，所以，所以最大的是. 练2：比较大小：________2.(填“”“”“≥”或“≤”)【答案】≥ 【解析】由题意，得≥1，, 当且仅当.即x＝0时，等号成立． 题型三、利用平均值不等式证明不等式 例3. 已知,,求证:. 【解析】证明:法一　因为，所以. 同理.故. 所以,当且仅当a=b=时取等号. 法二　， 因为为正数,所以,于是. 因此,当且仅当时等号成立. 练1：已知，且，求证：. 【解析】证明:由，则， 由于，则，即＝2， 当且仅当时，等号成立，所以. 题型四、利用平均值不等式求最值问题 例4. 求下列式子的最值: (1) ； (2) ()； (3) 【解析】(1)，当且仅当3x2=，即x=时取等号, 所以有最小值. (2)因为,所以, 所以≤，当且仅当x=3-x即x=时取等号. 所以 ()有最大值. (3)因为x0,所以≥2,当且仅当即时取等号.所以,所以有最大值-12. 练1：(1) 已知0x1，则取得最大值时x的值为________； (2)已知，则的最大值为________；1 (3)函数()的最小值为________． 【解析】(1)＝≤，当且仅当，即时，取等号．故所求x的值为. (2)因为，所以， 则=－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1. (3)（分离常数法）y＝ ＋2≥＋2.当且仅当，即＋1时，取等号． 练2：已知，，，则的最小值为________． 【答案】4. 【解析】因为，所以=＝2＋2＝4.当且仅当时，取等号． 练3：当时，函数的最大值为________．3 解： 当且仅当x＝，即时取等号，所以函数y的最大值为3. 题型五、求参数的值（范围） 例5.已知在时取得最小值，则的值为________．36 【解析】，当且仅当，即时，等号成立， 故. 方法总结：求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 练1：已知，若不等式恒成立，则的最大值等于(　B　) A．10 B．9 C．8 D．7 解：因为，所以2a＋b0，所以要使恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.故选B. 练2：若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_