高三一轮复习 第3讲 第二章 2.3 基本不等式复习讲义(学生版).doc

PAGE 1 PAGE 2 第3讲 第二章 2.3基本不等式复习讲义 1.平均值不等式 1．定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立． 其中叫做正数的算术平均值，叫做正数的几何平均值． 2. 定理（常用不等式）：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立． 3. 活用几个重要的不等式 (1) ；(2) (同号)；(3) ． 4. 利用基本不等式求最值问题 已知，则 (1) 如果是定值，那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)； (2) 如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)． 总结：应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ① 一正：要求各数均为 正数????; ② 二定：要求和或积为 定值????; ③ 三相等：要保证具备 等号??成立的条件. 5. 重要不等式链 1）若，则≥≥≥. 2）设,则有≤≤≤(当且仅当时取等号). 其中为调和平均值,为几何平均值,为算术平均值,为平方平均值. 2. 三角不等式 定理（三角不等式） 对任意的实数a、b，有，且等号当且仅当时成立. 另有： 题型一、平均值不等式概念辨析 例1. 下面四个推导过程正确的有 （1）若为正实数，则； （2）若，，则； （3）若，，则； （4）若，则. 练1：设为正数，且，则下列各式中正确的一个是(　　) A. ； B.； C.； D．. 练2.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 题型二、利用平均值不等式比较大小 例2. (1)如果，，，，那么的大小顺序是( ) A． B． C． D． (2)设为非零实数，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是________．(填序号) 练1：设实数满足，则，，中最大的是______ 练2：比较大小：________2.(填“”“”“≥”或“≤”) 题型三、利用平均值不等式证明不等式 例3. 已知,,求证:. 练1：已知，且，求证：. 题型四、利用平均值不等式求最值问题 例4. 求下列式子的最值: (1) ； (2) ()； (3) 练1：(1) 已知0x1，则取得最大值时x的值为________； (2)已知，则的最大值为________； (3)函数()的最小值为________． 练2：已知，，，则的最小值为________． 练3：当时，函数的最大值为________． 题型五、求参数的值（范围） 例5.已知在时取得最小值，则的值为________． 练1：已知，若不等式恒成立，则的最大值等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 练2：若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________ 题型七、平均值不等式的实际应用 例7. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． (1) 求这次行车总费用y关于x的表达式； (2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 练1：志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，ABAD，矩形的周长为 8 cm.　 (1) 设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2) 计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽． 题型八、三角不等式概念辨析 例8. ，则有 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④四个式中正确的是（ ） A. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② B. = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ C. = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④ D. = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④ 练1：不等式成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 题型九、利用三角不等式证明不等式 例9.（2020年上海高一必修1教材例题）设a、b为实数，求证： 练1.实数 满足，则之间的关系是