高三一轮复习 第5讲 第四章 幂函数、指数函数与对数函数复习讲义（教师版）.doc

PAGE 1 PAGE 2 第5讲 第四章 幂函数、指数函数与对数函数复习讲义 一、幂函数 幂函数的定义： 当指数固定，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数； 判断一个函数是幂函数的方法： = 1 \* GB3 ① 把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数； = 2 \* GB3 ② 幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数； 形如，等的函数都不是幂函数； 1. 函数图像关于原点对称 在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数； 点关于原点对称的点的坐标为； 2. 函数图像关于数轴对称 函数图像关于轴对称：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为； 函数图像关于轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为； 3. 幂函数的严格增（减）性 在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数； 4. 幂函数图像通过定点： 5. 函数图像的平移变换 函数图像平移变换的规律： 的图像向左(+)或向右(-)平移个单位长度得到函数或的图像； 的图像向上(+)或向下(-)平移个单位长度得到函数或的图像； 二、指数函数 指数函数的定义 当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数. 判断一个函数是指数函数的方法： （1）需判断其解析式是否符合这一结构特征． （2）看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： ①底数为大于0且不等于1的常数； ②自变量的位置在指数上，且的系数是1； ③的系数是1；　　 1. 指数函数的性质 （1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，； 2. 指数函数的单调性 当时，指数函数在R上是严格增函数； 当时，指数函数在R上是严格减函数； 3. 指数函数的图像特征 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 三、对数函数 对数函数的定义 当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：； 1. 反函数 因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数； 2. 定理（对数的基本不等式）： 当，时，； 3.对数函数性质 （1）定义域为；（2）当时，； （3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数； 4. 对数函数的图像特征 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 知识点1. 幂函数的定义 例1.已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ______ 解：由题意，设，因为，，得，即，则，， 即，故答案为； 知识点2. 函数的图像的对称性 例1. 作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）； 练1：已知函数，函数的图像与函数的图像关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若时，总有成立，求实数的取值范围. 解：（1）∵函数的图像与的图像关于原点对称， ∴，即，. （2）函数是偶函数.理由如下： 记，即，. ∵，∴函数为偶函数，即函数为偶函数. （3）记，. 由题知恒成立，∴. 令， ∵，，∴单调递减，∴， ∴，即实数的取值范围是. 【说明】函数关于原点对称的推广： 证明：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数满足”。 【提示】可以借助于解析几何求解轨迹方程的“相关点法” 理解： 【证明】设是函数图像上任意一点，即则关于点对称的对称点是. 又函数的图像关于点成中心对称图形， 所以也在函数图像上，， 所以即 故亦即 反之，同理可证，故待证结论成立； 【两个结论】 （1）若函数对定义域内任意自变量满足，则函数的图像关于点中心对称； （2）函数与的图像关于点中心对称. 【说明】关于数轴对称的推广及其几个重要的结论： （一）函数图像本身的对称性（自身对称） 1.函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称； 2.函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称。 3.函数满足的充要条件是图像关于直线 对称。 （二）两个函数的图像对称性（相互对称） 1. 曲线与关于轴对称； 2. 曲线与关于轴对称； 3. 曲线与关于直线对称； 4. 曲线关于直线对称曲线为； 5. 曲线关于直线对称曲线为； 6.