高三一轮复习 第5讲 第四章 幂函数、指数函数与对数函数复习讲义（学生版）.doc

PAGE 1 PAGE 2 第5讲 第四章 幂函数、指数函数与对数函数复习讲义 一、幂函数 幂函数的定义： 当指数固定，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数； 判断一个函数是幂函数的方法： = 1 \* GB3 ① 把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数； = 2 \* GB3 ② 幂函数的特征：①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数； 形如，等的函数都不是幂函数； 1. 函数图像关于原点对称 在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数； 点关于原点对称的点的坐标为； 2. 函数图像关于数轴对称 函数图像关于轴对称：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为； 函数图像关于轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为； 3. 幂函数的严格增（减）性 在区间上，幂函数的函数值随着的严格增大（减少）而严格增大（减少），此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数； 4. 幂函数图像通过定点： 5. 函数图像的平移变换 函数图像平移变换的规律： 的图像向左(+)或向右(-)平移个单位长度得到函数或的图像； 的图像向上(+)或向下(-)平移个单位长度得到函数或的图像； 二、指数函数 指数函数的定义 当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数. 判断一个函数是指数函数的方法： （1）需判断其解析式是否符合这一结构特征． （2）看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： ①底数为大于0且不等于1的常数； ②自变量的位置在指数上，且的系数是1； ③的系数是1；　　 1. 指数函数的性质 （1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，； 2. 指数函数的单调性 当时，指数函数在R上是严格增函数； 当时，指数函数在R上是严格减函数； 3. 指数函数的图像特征 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 三、对数函数 对数函数的定义 当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：； 1. 反函数 因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数； 2. 定理（对数的基本不等式）： 当，时，； 3.对数函数性质 （1）定义域为；（2）当时，； （3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数； 4. 对数函数的图像特征 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 知识点1. 幂函数的定义 例1.已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ______ 知识点2. 函数的图像的对称性 例1. 作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）； 练1：已知函数，函数的图像与函数的图像关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若时，总有成立，求实数的取值范围. 知识点3. 幂函数的性质 例3.已知，若，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 练1：如图是幂函数与在第一象限内的图像，则（ ） A．； B．； C．； D．. 练2：函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_________ 知识点4. 指数函数的性质 例4. 若函数是指数函数，则（ ） A． B． C．或 D．且 练1：求函数的定义域、值域 练2：函数的图像恒过定点__________. 练3：已知函数 （1）若，求函数的单调区间（2）若有最大值3，求的值 （3）若的值域是，求实数的取值范围. 知识点5. 对数函数的性质 例5. 已知函数的图像恒过定点为_________________． 练1：函数的值域是________. 练2：作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3). 练3：已知幂函数的图象过点. (1)求，的值； (2)求不等式的解集：. 练4：已知函数. (1)解不等式； (2)若，求的取值范围.