空间向量及其运算的坐标表示.pptxVIP

空间向量及其运算的坐标表示 激趣诱思知识点拨我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……,对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 激趣诱思知识点拨? 激趣诱思知识点拨3.向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).名师点析1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系. 激趣诱思知识点拨微练习若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为　　　　.?微思考在空间直角坐标系中,向量 的坐标与终点P的坐标有何关系?(3,2,-1) 答案:向量 的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换. 激趣诱思知识点拨二、空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3)　 (λa1,λa2,λa3)　 a1b1+a2b2+a3b3 激趣诱思知识点拨3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b?a=λb?　　 　　　　　　(λ∈R);?(2)a⊥b?　　　　　?　　　　　　　　　　.?名师点析当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b? .a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 激趣诱思知识点拨4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 激趣诱思知识点拨微练习1已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=　　　　　?,3m-n=　　　　　?,(2m)·(-3n)=　　　　　.?微练习2已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=　　　　　,若a⊥b,则 λ=　　　　　.?(-1,-1,1) (5,-11,19) 168 解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.4 激趣诱思知识点拨 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的坐标表示 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下: 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测空间向量的坐标运算例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.反思感悟空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a