高三一轮复习 第4讲 第三章 幂、指数与对数复习讲义（教师版）.doc

PAGE 1 PAGE 2 第4讲 第三章 幂、指数与对数复习讲义 一、指数幂的拓展 1. 性质 对任意给定的正数、及实数、，有 ，， 【注意】 (1)上述等式均在有意义的条件下才能成立，否则有一定成立，如：不一定等于，因为有可能没有意义（当时）； (2) 实数指数幂运算的注意事项： ① 实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用。 ② 在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则有可能不成立。 2.定理 当，时，； 3.的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 的次方根用符号表示，这里叫做根指数，叫做被开方数。 是奇数 正数的次方根是一个正数 的次方根用符号表示 负数的次方根是一个负数 是偶数 正数的次方根有两个，这两个数互为相反数 正数的次方根用符号表示, 负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作 【注意】开方与乘方：求的次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，这两种运算不能混淆。 二、对数的定义运算及其性质 1.对数的概念 如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数； 2.对数的性质 当（，且）时； ① 零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 3.对数的运算法则 当时； ① 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ② 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③ 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 4.对数的换底公式 当（，且，）时； 5.对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 知识点一：幂与指数 例1．化简，结果是______ 4 【详解】∵，∴，∴， ∴ 练1：使等式成立的的取值范围是________. 解：因为，所以 所以，所以，即，故满足条件的的取值范围是 练2：计算：_________.5 练3：已知，则________． 练4：计算=________. 练5：地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）.那么，级地震释放的能量是级地震释放的能量的__________. 解：设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为, ,, 即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的103倍． 练6：计算：. 解：原式== = 知识点二：对数 例2．设为正数，且，则有（ ） A． B． C． D． 【详解】设， 则，，， ∴， 同理，，而， ∴，即．故选：B 练1：下列等式成立的有（ ）B ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④⑤ 练2：设，则用表示___________ 练3：若且，将指数式转化为对数式为（ ）C A． B． C． D． 练4：已知，则____________． 练5：已知，求的值. 解：因为，所以， 化简得，即，解得. 练6：若，且，求的最小值. 解：因为， 所以， ，又因为 所以当且仅当，即时取等号；所以的最小值为.