《数学建模算法与应用》(第三版)课件 第6章 微分方程.pptx

第6章;目录 CONTENTS;常微分方程问题的数学模型;传染病预测问题;1.指数传播模型;2. SI模型;3. SIS模型;4. SIR模型;常微分方程 的求解;6.3.1 常微分方程的符号解 ;clc, clear, syms y(t) dy=diff(y); d2y=diff(y,2); d3y=diff(y,3); %定义y的前3阶导数，是为了赋初值 u=exp(-t)*cos(t); y=dsolve(diff(y,4)+10*diff(y,3)+35*diff(y,2)+50*diff(y)+24*y==diff(u,2),... y(0)==0,dy(0)==-1,d2y(0)==1,d3y(0)==1);clc, clear syms x(t) [3, 1] %定义符号向量函数，x(t)后面有空格 A=[3 -1 1;2 0 -1;1 -1 2]; [s1,s2,s3]=dsolve(diff(x)==A*x,x(0)==ones(3,1));clc,clear syms x(t) [3,1] %定义符号向量函数，x(t)后面有空格 A=[1,0,0;2,1,-2;3,2,1]; B=[0;0;exp(t)*cos(2*t)]; x0=[0;1;1]; %初值条件 [s1,s2,s3]=dsolve(diff(x)==A*x+B,x(0)==x0) %求符号解;clc,clear, syms f(x) g(x) %定义符号函数 df=diff(f); %定义f的一阶导数 [s1,s2]=dsolve(diff(f,2)+g==3, diff(g)+diff(f)==1,... df(1)==0, f(0)==0, g(0)==0);6.3.2初值问题的Matlab数值解;clc, clear, close all, syms y(x) y=dsolve(diff(y)==-2*y+2*x^2+2*x, y(0)==1) dy=@(x,y)-2*y+2*x^2+2*x; [sx, sy]=ode45(dy, [0,0.5], 1) fplot(y,[0,0.5]), hold on plot(sx, sy, *); legend({符号解,数值解}) xlabel($x$,Interpreter,Latex) ylabel($y$,Interpreter,Latex,Rotation,0);clc, clear, close all dy=@(x,y)[y(2); sqrt(1+y(2)^2)/5/(1-x)]; [x,y]=ode45(dy,[0,0.999999],[0;0]) plot(x, y(:,1)), xlabel($x$,Interpreter,Latex) ylabel($y$,Interpreter,Latex,Rotation,0);clc, clear, close all, rng(2) %为了进行一致性比较，每次运行取相同随机数 sigma=10; rho=28; beta=8/3; T=80; g=@(t,f)[sigma*(f(2)-f(1)); rho*f(1)-f(2)-f(1)*f(3); f(1)*f(2)-beta*f(3)]; xyz0=rand(3,1); %初始值 [t,xyz]=ode45(g,[0,T],xyz0); %求数值解 subplot(121), plot3(xyz(:,1),xyz(:,2),xyz(:,3)) %轨线图 xlabel($x(t)$,Interpreter,latex) ylabel($y(t)$,Interpreter,latex) zlabel($z(t)$,Interpreter,latex), box on %加盒子线以突出立体感 so=ode45(g,[0,T],xyz0+0.00001) %初值变化后，再求数值解 xyz2=deval(so,t); %返回值为3行的矩阵，计算对应的x,y,z的值 subplot(122), plot(t,xyz(:,1)-xyz2(1,:),.-) xlabel($x(t)$,Interpreter,latex) ylabel($x_1(t)-x_2(t)$,Interpreter,latex);clc, clear, close all, w=20; df=@(t,f,w)[w/sqrt((10+20*cos(t)-f(1))^2+... (20+15*sin(t)-f(2))^2)*(10+20*cos(t)-f(1)) w/sqrt((10+20*cos(t)-f(1))^2+... (20+15*sin(t)-f(