二次函数系数a、b、c与图像的关系.doc

二次函数系数a、b、c与图像的关系 下面就中的a，b，c的作用归纳如下． a的作用：决定开口方向：a 0开口向上；a 0开口向下； 1.2 决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小． b的作用与抛物线的顶点、a有关，b与a的符号共同决定抛物线的顶点横坐标． 2.1 b与a同号，说明，则顶点在y轴的左边； 2.2 b与a异号，说明，则顶点在y轴的右边； 2.3 若顶点在y轴上，则b = 0． 3 c的作用：c有抛物线与y轴的交点坐标决定． 3.1 c 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴； 3.2 c 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴； 3.3 若抛物线过原点，则c = 0． 4 若抛物线与 x轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x轴交于（-1，0），则a - b + c = 0． 4.1 当x = 1时，①若y 0，则a + b + c 0；②若y 0，则a + b + c 0 4.2 当x = -1时，①若y 0，则a - b + c 0；②若y 0，则a - b + c 0． 5 yxO例1（重庆2004年）二次函数的图像如图，则点M（b ，）在（　　） y x O A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分析：∵开口向下，∴a 0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c 0 ∵顶点在y轴的右边，∴b与a异号，即b 0；∴ 0；∴点M在第四象限选D 例2、（2004陕西）二次函数的图像如图，则下列关系判断正确的是（　　） yxOA．ab 0 B． y x O C．a + b + c 0 D．a - b + c 0 分析：∵开口向下，∴a 0； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c 0 ∵顶点在y轴的左边，∴b与a同号，即b 0； ∴ab 0， bc 0 故A、B均错 ∵x = 1时，y 0，∴a + b + c 0，故C错 ∵x = -1时，y 0，∴a - b + c 0．故选D 例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ①②③④，则a， b， c， d的大小关系是　　　　　　． xyO①②④③A．a b c d B． x y O ① ② ④ ③ C．b a c d D．b a d c 分析：∵③、④的图像开口向下，∴c 0，d 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d∣ ∣c∣， ∴c d； ∵①、②的图像开口向上，∴a 0，b 0； ∵①的张口比②的张口小，∴∣a∣ ∣b∣， ∴a b；∴选A yxO例4、已知二次函数的图像如图，则a、b、c满足 y x O A．a 0，b 0，c 0 ；B．a 0，b 0，c 0 ； C．a 0，b 0，c 0 ；D．a 0，b 0，c 0 ； 分析：∵开口向下，∴a 0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c 0∵顶点在y轴的左边，∴b与a同号，即b 0； ∴选A 例5　二次函数的图像如图，为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 　解： ①∵开口向上，∴a 0； xOy②∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c x O y ③∵顶点在y轴的右边，∴b与a异号，即b 0； ④∵x = 1时，y 0，∴a + b + c 0； ⑤∵x = -1时，y 0，∴a - b + c 0． 例１、已知y=ax2+bx+c图象如图1，则下列关系中成立的是( ) 剖析 特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=这里，所以选C．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0α2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②， (α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a 求中点坐标判定法，设抛物线与x轴交于点A(α，0)(0α2)，B(2，0)， 则A、B中点坐标是 所以选 C． 注意：若题目为“已知抛物线y=ax2+bx+c过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？ 例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax2+bx+c如图2，则下列结论： 2.4xy012图2①，②，③a-b+c0，④ab-12a 2.4 x y 0 12 图2 A．①③ B． ①④ C． ②③ D．