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4旋转曲面的面积
第十章
定积分的应用
一、微元法
定义:已知:若φ(x)= dt,则当f为连续函数时,φ’(x) =f(x),或dφ=f(x)dx,且φ(a)=0,φ(b)= dt.
现将问题倒过来,若所求量φ是分布在某区间[a,x]上的,或它是该区间端点x的函数,即φ=φ(x),x∈[a,b],且当x=b时,φ(b)适为最终所求的值.
在任意小区间[x,x+△x]?[a,b]上,若能把φ的微小增量△φ近似表示为△x的线性形式:△φ≈f(x)△x,其中f为某一连续函数。
而且当△x→0时,△φ- f(x)△x=o(△x),亦即dφ=f(x)dx。
那么只要把定积分dx计算出来,就是该问题所求的结果,这种方法通常称为微元法.
注:1、所求量φ关于分布区间必须是代数可加的;
2、微元法的关键是正确给出△φ的近似表达式△φ≈f(x)△x.
应用:求平面图形面积的微元表达式:△A≈|y|△x,且dA=|y|dx.
求立体体积的微元表达式:△V≈A(x)△x,且dV=A(x)dx.
求曲线弧长的微元表达式:△s≈△x,且ds=dx.
设光滑曲线C的方程为y=f(x),x∈[a,b],不妨设f(x)≥0.
曲线C绕x轴旋转一周得旋转曲面如图,可用微元法导出其面积公式.
通过x轴上点x与x+△x分别作垂直于x轴的平面,在旋转曲面上截得一狭带,当△x很小时,近似于一圆台侧面,即
△s≈π[f(x)+f(x+△x)]
=π[2f(x)+△y]△x。
其中△y=f(x+△x)-f(x),又=0,
=.
由f’(x)的连续性可保证:
π[2f(x)+△y]△x-2πf(x)△x=o(△x).
∴dS=2πf(x), S=2πdx.
若光滑曲线C由参数方程:x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出,且y(t)≥0,则
由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为:
S=2πdt.
例1:计算圆x2+y2=R2在[x1,x2]?[-R,R]上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积.
解:圆在x轴上方的曲线为y=,则y’=。
所得球带的曲面面积为:
S=2πdx=2πR(x2-x1).
注:当x1=-R,x2=R时,则得球的表面积S球=4πR2.
例2:计算由内摆线x=acos3t,y=asin3t绕x轴旋转所得旋转曲面面积。解:x’(t)=-3acos2tsint, y’(t)=3asin2tcost,
所得曲面面积为:
S=4πdt=4πdt
=12πa2dsint=πa2.
习题
1、求下列平面曲线绕指定轴旋转曲面的面积:
(1)y=sinx, 0≤x≤π, 绕x轴;
(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a0), 0≤t≤2π, 绕x轴;
(3)=1,绕y轴;(4)x2+(y-a)2=r2(xa),绕x轴.
解:(1)所得曲面面积为:
S=2πdx=2πdx=2π[].
(2)∵x’=a(1-cost), y’=asint. ∴所得曲面面积为:
S=2πdt=2πa2dt
=πa2.
(3)曲线在y轴右侧部分为:x=,x’=,
∴所得曲面面积为:
S=2πdy=2πady.
当ba时,S=2π(a2+);
当ba时,S=2π(a2+);
当b=a时,S=4πa2=4πb2.
(4)此旋转体的表面可看作是由两个半圆:
y=a+,y=a-,-r≤x≤r绕x轴旋转所得.
∴S=2πdx+2πdx
=4πrad=4π2ra.
2、设平面光滑曲线由极坐标方程:r=r(θ),θ∈[α,β]?[0,π],r(θ)≥0
给出,试求它绕极轴旋转所得旋转面的面积计算公式。
解:化为参数方程:x=r(θ)cosθ, y=r(θ)sinθ.
则x’=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ, x’2=r’2(θ)cos2θ-2r(θ)r’(θ)sinθcosθ+r2(θ)sin2θ;
y’=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ, y’2=r’2(θ)sin2θ+2r(θ)r’(θ)sinθcosθ+r2(θ)cos2θ;
则有x’2+y’2=r2+r’2.
∴S=2πdθ.
3、试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积;
(1)心形线r=a(1+cosθ)(a0);
(2)双纽线r2=2a2cos2θ(a0).
解:(1)r’=-asinθ; r2+r’2=a2(sin2θ+1+2cosθ+cos2θ)=2a2(1+cosθ).
所得旋转曲面的面积为:
S=2πdθ=2πa2dθ
=16πa2d=πa2.
(2)双纽线在极轴上方部分的曲线为:r=,θ∈[,],
r’=-sin2θ. r2+r’2=.
所得旋转曲面的面积为:
S=4πdθ=8πa2dθ=(8-4)πa2.
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