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《双曲线的简单几何性质》教学设计
双曲线的简单几何性质
【教学目标】
1.了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
【教学重难点】
重点:双曲线的几何性质及初步运用。
难点:双曲线的渐近线。
【教学过程】
一、复习提问引入新课
1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?
2.双曲线的两种标准方程是什么?
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。
二、类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格
三、渐近线
双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内,那么从x,y的变化趋势
byxa=byxa=-看,双曲线与直线具有怎样的关系呢?
22221xyab-=byxa=±根据对称性,可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线
的关系。byx
a
=
双曲线在第一象限的部分可写成:
当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON
的下方逐渐接近于射线ON。
在其他象限内也可以证明类似的情况。
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程,将x、y字母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精
再描几个点,就可以随后画出比较精确的双曲线。
四、离心率由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一
下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响:
变得开阔,从而得出:双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔。
这时,指出:焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐标系的选择无关,即不随坐标系的改变而改变。
五、例题讲解
【例1】求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
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