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《双曲线的简单几何性质》教学设计 双曲线的简单几何性质 【教学目标】 1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 【教学重难点】 重点：双曲线的几何性质及初步运用。 难点：双曲线的渐近线。 【教学过程】 一、复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？ 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。 二、类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格 三、渐近线 双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势 byxa=byxa=-看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？ 22221xyab-=byxa=±根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线 的关系。byx a = 双曲线在第一象限的部分可写成： 当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON。 在其他象限内也可以证明类似的情况。 现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字 这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精 再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线。 四、离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一 下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响： 变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。 这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变。 五、例题讲解 【例1】求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。 22