【知识清单】一元二次函数、方程与不等式.docx

第 PAGE 16页 《一元二次函数函数、方程与不等式》 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 3．重要不等式 一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 4．等式的性质 （1）性质1 如果a＝b，那么b＝a； （2）性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； （5）性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)． 5．不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b?b＜a． （2）传递性：a＞b，b＞c?a＞c． （3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c． （4）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc． （5）加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d． （6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd． （7）乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 6．基本不等式 （1）有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，把eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立． 7．已知x、y都是正数， （1）若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4)． （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p)． 口诀：积定和最小，和定积最大． 8．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 9．一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． （2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． （3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． （4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 10．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ? ? 【思考】若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a0，,1＋4a0，))解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R． 11．分式不等式的解法 一般思路：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0?＜0?,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0?＞0?,cx＋d＜0)) 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) eq \f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0) 法一： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0?≤0?,ax＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0?≥0?,cx＋d＜0)) 法二： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?ax＋b??cx＋d?≥0?≤0?,cx＋d≠0)) eq \f(ax＋b,cx＋d)＞keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k,≥k,≤k))(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 【思考】eq \f(x－3,x＋2)0与(x－3)(x＋2)0等价吗？将eq \f(x－3,x＋2)0变形为(x－3)(x＋2)0，有什么好处？ 12．（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c0 ax2＋bx＋c0 a＝0 b＝0，c0 b＝0，c0 a≠0 eq \b\lc\{\r