【知识清单】复数.docx

第 PAGE 16页 《复数》 1．复数的有关概念 （1）复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． （2）复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，b≠0），,非纯虚数（a≠0，b≠0）.)))) （3）复数相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． （4）共轭复数 a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． （5）复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi eq\f(―→,\s\up6(一一对应)))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． （2）复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \o(OZ,\s\up6(→))． 3．复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【常用结论】 1．三个易误点 （1）两个虚数不能比较大小． （2）利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． （3）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq \o\al(2,1)＋zeq \o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立． 2．复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． （1）(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i. （2）－b＋ai＝i(a＋bi)． （3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.