【知识清单】集合与常用逻辑用语.docx

第 PAGE 16页 《集合与常用逻辑用语》 1．集合的有关概念 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为． （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 eq \a\vs4\al(N) N*或N＋ eq \a\vs4\al(Z) eq \a\vs4\al(Q) eq \a\vs4\al(R) 2．集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A?B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4．集合的运算性质 （1）A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A． （2）A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A． （3）A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A． 5．常用结论 （1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，???； ②空集是任何集合的子集（即??A）； 空集是任何非空集合的真子集（若A≠?，则?A）． （2）子集个数：若有限集A中有n个元素， 则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个． 【典例1】已知集合，，则的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为集合，，所以， 所以的子集的个数为个．故选B． 【典例2】已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【详解】由题意得， 其真子集有个．故选D． （3）A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B． （4）(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B) ． 6．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ? q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ? q且q ? p p是q的必要不充分条件 p ? q且q ? p p是q的充要条件 p ? q p是q的既不充分也不必要条件 p ? q且q ? p 7．充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件?A?B，p是q的充分不必要条件?AB； （2）p是q的必要条件?B?A，p是q的必要不充分条件?BA； （3）p是q的充要条件?A＝B． 8．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 eq \a\vs4\al(?) 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 eq \a\vs4\al(?) 9．全称量词命题和存在量词命题 名称 形式 全称命题命题 存在量词命题 语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立 符号表示 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 10．全称命题命题与存在命题命题的否定 全称量词命题p:，则.（全称量词变为存在量词，对结论进行否定）； 存在量词命题，则.（存在量词边为全称量词，对结论进行否定）. 【方法与技巧】 1.集合基本运算的方法技巧： （1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合． 2.充要条件的两种判断方法 （1）定义法：根据p?q，q?p进行判断． （2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断． 3.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． （3）数学定义都是充要条件．