二面角的求法总结.doc

二面角大小求法 典型例题 POBA1、利用 P O B A 例1、 如图,已知∠APB等于60°,且PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求二面角α-а-β的大小. CDPMBA2、三 C D P M B A 例2、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。 求：二面角P—BC—A的正切值； ?EBFCA3、 ? E B F C A 例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 提示： 4、射影公式：由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。 AHMD1C1B1A1B A H M D1 C1 B1 A1 B C D 5、找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 PAC P A C D B 6、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 例6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证:A1C⊥平面AEF； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”试根据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角余弦值的大小。 D1C1A1 D1 C1 A1 B1 B1 EF E F DC D C BA B A 7、向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等。 题例同六，则求（2）的另一方法。 针对性练习 1、 （1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面?垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是 （ ） （A）4个 （B）6个 （C）7个 （D）8个 （2）直线a与平面?斜交，则在平面?内与直线a垂直的直线（ ） （A）没有 （B）有一条 （C）有无数条 （D）?内所有直线 AA′CO2、（1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面?内，PA⊥?，PA=a，则P到CD的距离为 ，P到 A A′ C O （2）AC是平面?的斜线，且AO=a，AO与?成60o角， OC??，AA＇⊥?于A＇，∠A＇OC=45o， 则A到直线OC的距离是 ， ∠AOC的余弦值是 . 3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. 分析：A1C在上底面ABCD的射影AC⊥BD, A1C在右侧面的射影D1C⊥C1D, 所以A1C⊥BD, A1C⊥C1D,从而有A1C⊥平面BC1D. 1、在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形） 2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ） （A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M （C）N⊥Ma∥N （D） 3．如图，矩形所在的平面，分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求证： （3）若，求证：平面 4、如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：