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2019 年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出题合符目要求的一项。
1 .已知复数 z 2 i ,则 z z ( )
A . 3 B. 5 C. 3 D .5 2 .执行如图所示的程序框图,出输的 s 值为 ( )
A . 1 B. 2 C. 3 D .4 x 1 3t ,
.已知直线 l 的参数方程为 y 2 4t 为参数),则点 (1,0) 到直线 l 的距离是 ( )
(t
1 2
A . B.
C. 4 D . 6
5 5 5 5
.已知圆椭
x2
2 a2
y2
1(a b
1
b 0) 的离心率为 2 ,则 ( )
A . 2 2 2
a b B.
3a2
4b2
C. a 2b D . 3a 4b
.若 x , y 满|足x |, 1 y ,且 y? 1 ,则 3x y 的最大为值 ( )
A . 7 B. 1 C. 5 D .7
6 .在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
5
m m lg
E
1 ,其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek (k 1,2) .已知太阳的星等是 26.7 ,天
22 1 E
2
2
狼星的星等是 1.45 ,则太阳与天狼星的亮度的为值比 ( )
A . 1010.1
B. 10.1 C. lg10.1 D . 10 10.1
.设点 A , B , C 不共线,则“AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB AC | | BC | ” 的 (
)
A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线
图).给出下列三个结:论
①曲线 C 恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
C : x2 y 2
(如
1 | x| y 就是其中之一
第 1 页(共 18 页)
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ;
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 . 其中,所有正确结论的序号是 ( )
A .①
二、填空题
B.② C.①② D.①②③
共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
55.函数 f (x) sin2
5
5
2x 的最小正周期是 .
n10 .设等差数列 { a } 的前 n 项和为 S
n
,若
a2
a
3 , S
,则 a
, 的最小值
Sn
S
n
为 .
.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为 l ,那么该几何体的体积为 .
.已知 l , m 是平面
① l m ;② m / / ;③ l
外的两条不同直线.给出下列三个论断:
.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .
.设函数 f (x) ex
ae x (a 为常数).若 f (x) 为奇函数,则 a
;若 f ( x) 是 R 上的增
函数,则 a 的取值范围是 .
.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,
价格依次为 60 元 / 盒、65 元 / 盒、80 元 / 盒、 90 元 / 盒.为增加销量,李明对这四种水果
进行促销:一次购买水果的总价达到 功后,李明会得到支付款的 80% .
120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成
①当 x 10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付 元;
②在促销活动中, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折, 值为 .
则 x 的最大
三、解答题
共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
第 2 页(共 18 页)
.(13 分)在 ABC 中, a 3 , b c 2 , cosB 1 .
2
(Ⅰ)求 b , c 的值;
(Ⅱ)求 sin( B C) 的值.
.(14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 平 面 ABCD , AD CD , AD / / BC ,
PA AD CD 2, BC 3 . E 为 PD 的中点,点 F 在 PC 上,且
PF 1 .
PC 3
(Ⅰ)求证: CD
(Ⅱ)求二面角 F
平面 PAD ;
AE P 的余弦值;
(Ⅲ)设点 G 在 PB 上,且 PG
PB
2 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内,说明理由.
3
17 .(13 分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为
主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A , B 两种移动支付方式的使用情况,从全校
学生中随机抽取了 100 人,发现样本中 A ,
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