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2018
2018 年中考复习 相似 动点 分类讨论
1.如图,已知一个三角形纸片ABC , BC 边的长为 8, BC 边上的高为6 ,?B 和?C 都为锐角,M 为 AB 一动点(点 M 与点 A、B 不重合),过点M 作 MN ∥ BC ,交 AC 于点 N , 在△AMN 中,设 MN 的长为 x , MN 上的高为h .
请你用含 x 的代数式表示h .
将△AMN 沿 MN 折叠,使△AMN 落在四边形 BCNM 所在平面,设点A 落在平面
11时, y 最大,最大值为多少?【答案】解:(1)Q MN ∥
1
1
时, y 最大,最大值为多少?
【答案】解:(1)Q MN ∥BC
?△AMN ∽△ABC ? h ? x ? h ? 3x
6 8
4
(2)Q△AMN ≌△ A MN ?△A MN 的边 MN 上的高为h ,
1 1
① 当 点
A
1
落 在 四 边 形
BCNM
内 或
BC
边 上 时 ,
1 1 3 3
y ? S
△ A1MN
= MN·h ?
2
x· x ?
2 4
x2 (0 ? x ≤ 4 )
8
② 当 A 落在四边形 BCNM 外时,如下图(4 ? x ? 8) ,
1
设△A EF 的边 EF 上的高为h
,则h
? 2h ? 6 ? 3 x ? 6
1 1 1 2
Q EF ∥ MN ?△A EF ∽△ A MN
1 1
Q△A MN ∽△ ABC ?△A EF ∽△ ABC
1 1
S ? h ?2 1
△ A1EF ? ? 1 ?
Q S ?
? 6 ? 8 ? 24
S
△ABC
? 6 ?
△ ABC 2
? 3 x ? 6 ?2
? S ?? ? 2 ? ? 24 ?
3 x2 ?12x ? 24
??△A1EF
?
?
? 6 ? 2
? ?
Q y ? S
9
△ A MN
1
? S ? 3
8△ A EF
8
1
2 ? 3 x2 ?12x ? 24 ? ? ? 9
x ? 2??? ?
x ? 2
?
?
x2 ? 12x ? 24 所
y ? ? x2 ?12x ? 24 (4 ? x ? 8) 8
综上所述:当0 ? x ≤ 4 时, y ? 3
8
9
A
MNEFx2 ,取 x ? 4 , y
M
N
E
F
最大
16
当4 ? x ? 8 时, y ? ?
8
x2 ?12x ? 24 ,取 x ?
, y ? 8
3 最大
B C
A1
Q 8 ? 6? 当 x ? 16 时, y 最大, y ? 8
3 最大
2.如图,抛物线经过 A(4,0), B(1,0), C(0,? 2) 三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P, M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】解:(1)Q 该抛物线过点C (0,? 2) ,? 可设该抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? 2 .
得??16a ? 4b ? 2 ? 0
得?
?16a ? 4b ? 2 ? 0,
?a ? ? 1,
?
2
?a ? b ? 2 ? 0.
解得?
?b ? 5 .
? 此抛物线的解析式为 y ? ?
1
2
x2 ? x ? 2 .
5
2
??
2
(2)存在.
如图,设 P 点的横坐标为m ,则 P 点的纵坐标为?
1
2
m2 ? m ? 2 ,
5
2
当1 ? m ? 4 时, AM ? 4 ? m , PM ? ? m2 ? m ? 2 .
1
5
2
2
又Q ?COA ? ?PMA ? 90°,? ①当 AM ? AO ? 2 时, △APM ∽△ACO ,
PM OC 1
即
4 ? m ? 2 ? m ? m ? 2
?
?
1
5
?
?
2
2
2
?
?
.解得
m ? 2,m ? 4 (舍去),? P(2,1) .
1 2
AM OC 1 1 5②当 ? ? 时, △APM ∽△CAO ,即2(4 ? m) ? ? m2 ? m ? 2 . PM OA 2 2 2
AM OC 1 1 5
解得m
1
? 4 , m
2
? 5 (均不合题意,舍去)? 当1 ? m ? 4 时, P(2,1) .
类似地可求出当m ? 4 时, P(5,? 2) .
当 m ? 1时, P( ? 3,?14) .综上所述,符合条件的点P 为(2,1) 或(5,? 2) 或( ? 3,?14) .
2 8
如图,已知直线 l
: y ?
x ? 与直线l
: y ? ?2x ?16 相交于点C,l 、l
分别交
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