高观点下的高考数列问题研究.docx

高观点下的高考数列问题研究 　　摘要：本文以调查研究为主要研究方法，首先研究初等数学中常见的三类高考数列问题，通过分析总结出高考数列问题的方法和思想；继而利用高观点的知识进行研究分析，研究以递推关系和差分、母函数方法求数列通项、压缩映射、数论以及有界变差数列为背景的数列试题，以此说明了高等数学知识在初等数学解题中的积极作用。 关键词：初等数学；高观点；数列 1引言 1.1 问题的提出 　　为了加强的推进以及选拔创新型数学人才,将高等数学和初等数学衔接起来尤为重要。紧密结合高等数学和初等数学一方面可以更好地帮助教师掌握数学知识,可以从较高的角度看待初等数学以及初等数学的教学；另一方面可以提高中学数学教师的数学素养和解题能力，教师站在高等数学的角度来看初等数学中的某些问题会更全面。另外,初等数学中蕴涵着高等数学中的相关知识,对培养学生的数学思维能力以及将来学习数学的能力有非常大的帮助。因此,关注高观点下的中学数学问题是有必要的。本文将以此出发，探究高观点下的高考数列问题。 1.2 研究内容 　　本文研究的初等数学中的数列问题是以新课标数学必修5中的数列内容为基础,对近几年高考以及数学竞赛中的数列问题进行分析,分析试题是如何体现高观点,并提出相应的应对策略。本文研究高观点下高考试题中的数列问题，主要包括有高考数列的习题分析以及运用压缩映射、母函数等高观点来解决高考数列问题。 1.3 研究目的及意义 　　在本文中,一方面是分类和总结高考数列问题,使教师和学生掌握这部分的考题类型，提高学生分析和解决问题的能力，帮助学生备考高考，也给教师指导学生复习提供新思路。另一方面，作为数学教师，在新课程的背景下，必须掌握足够的高等数学知识以适应教材的发展和考试的变化。从高观点的视角研究问题，可以提高教师素质，促进新课程的顺利实施。 因此，本文的研究不仅对教师的教学还是对学生的学习都有积极的意义。 1.4 文献综述 　　近几年关于高中数列问题的文献更多的是侧重于数列的教学及教材的研究，如：孟祖国在《高中数列的有效教学研究》中，研究了课堂的有效教学，以高中数列的教学为例，通过一系列的实践探索了高中数学数列有效教学研究的现实意义。刘扬在《高中数学“数列与差分”专题教学设计研究》中，对“数列与差分”的教学提出了相应的教学原则与教学方法。张婷在《高中数列不同版本教科书内容的比较研究》中对比了三套不同教材在数列的异同点，给数列课程教科书的编写提供思路和帮助。林光思在《高中数学竞赛中数列问题的研究》中探讨了高考数列与数列竞赛之间的联系，推动了竞赛数学和数列问题的发展。龙正祥在《不动点在高中数学中的若干应用》一文中,利用泛函分析中的不动点定理,在满足线性递推关系的情况下,对求数列通项公式的方法进行了探究。牛海军在《初等数学与高等数学教学衔接问题的研究》中, 探讨了初等数学与高等数学的衔接问题并从教学内容、教学方法、学习方法三个方面提出了建议。 初等数学数列内容概述 教材在初等数学课程中的地位 　　小学阶段学过自然数后就引入了1、2、3、4……，而且小学数学问题中就出现了找规律的题型，小学奥数题目中也包含等差数列求和的知识点。在初中阶段关于数列的研究也在不断深入。高中阶段数列在必修五第二章，以一个独立的章节出现，约占12个课时，足以看出数列在整个中学数学中的重要性。此外，对于竞赛知识的扩充，教材还设置了《数列与差分》专题。 　　在知识联系上，数列和不等式、函数和方程都有着紧密的联系；在数学思想方面，数列也包含了等价转换、函数与方程、递推、分类讨论、整体代入、归纳类比、数学建模等重要的数学思想；在实际应用中，数列知识在测量化石年龄、人口增长等方面都有着重要的应用。此外，作为一种特殊的函数，数列属于离散数学。用高观点的知识学习数列，学生可以为学习高等数学打下良好的基础。因此，在初等数学与高等数学的联系上，数列承担着承上启下的重要角色[1]。 初等数学中的数列问题研究 　　初等数学中，面向大多数学生一般考查数列的基本概念和性质，比较注重基础，也比较容易得分；中等难度的题目会在概念的基础上穿插其他内容比如数学建模、合情推理，目的是为了考察学生的综合能力；难度比较大的题目则是在概念性质的基础上进行拔高，作为压轴题体现高考的选拔性。 2.2.1 求数列通项公式的问题 　　求数列的通项公式是常见的题型，包含由累加法或累乘法求数列通项公式，通过 和 的关系求通项，根据数学归纳法先猜想再证明通项。 （一）累加（乘）法求数列通项 通过累加法或累乘法来推导数列通项是基础方法，考查学生对方法的掌握情况。 中，，的通项公式。例1 数列 是常数， 中， ， 的通项公式。 ,且 求 的值； 求 解：（2）当　　【分析】第一问不难求出,而第二问求数列的通项公式，根据所给的递推关系可知， ，而