等比数列的判定与性质.docxVIP

第2课时　等比数列的判定与性质 学习目标　1.掌握等比数列的判断及证明方法.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 一、等比数列的判定与证明 问题1　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性． 知识梳理　 判定与证明等比数列的方法 1．定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：aeq \o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1＝eq \f(a1,q)·qn＝A·qn(A≠0)． 注意点： (1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)用定义法证明时，eq \f(an,an－1)和eq \f(an＋1,an)中的n的范围不同． 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (1)解　由S1＝eq \f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq \f(1,3)(a1－1)， ∴a1＝－eq \f(1,2). 又S2＝eq \f(1,3)(a2－1)， 即a1＋a2＝eq \f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq \f(1,4). (2)证明　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)(an－1)－eq \f(1,3)(an－1－1)， 得eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2).又a1＝－eq \f(1,2)， 所以{an}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列． 反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若aeq \o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 跟踪训练1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列． 证明　由a1＝1，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn， 得an0，Sn0. 由an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 所以eq \f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq \f(Sn,n)，则eq \f(\f(Sn＋1,n＋1),\f(Sn,n))＝2. 因为eq \f(S1,1)＝eq \f(a1,1)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列． 二、等比数列中项与项之间的关系 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得eq \f(an,am)＝eq \f(a1qn－1,a1qm－1)＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1， 所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aeq \o\al(2,1)qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aeq \o\al(2,1)qk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 知识梳理　 1．等比数列通项公式的推广和变形an＝