八个无敌模型——全搞定空间几何地外接球和内切球问题.docx

标准实用 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） PcAa P c A a b C B P c C b A a B P c C b A a B P O2 c B b a C A 图1 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式( 2 R ) 2  ? a 2  b 2  c 2 ，即2 R ? ，求出 R a 2 ? b 2 ? c 2例 1 a 2 ? b 2 ? c 2 A．16 ? B． 20 ? C． 24 ? D． 32 ? 3若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9? 解 ：（1）V ? a 2 h ? 16 ， a ? 2 ， 4 R 2 ? a 2 ? a 2 ? h 2 ? 4 ? 4 ? 16 ? 24 ， S ? 24 ? ， 选 C； （2） 4 R 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 ， S ? 4 ? R 2 ? 9 ? 3在正三棱锥S ? A B C 中， M 、 N 分别是棱S C 、 B C 的中点，且 AM ? MN ,若侧棱S A ? 2 ,则 3 正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是 。36 ? 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE , CD ， AE , CD 交于 H ，连接SH ，则H 是底面正三角 SDHE形 ABC 的中心，? SH ? 平面 ABC ，? SH ? S D H E ? AC ? BC ? AB ? SC ， AD ? BD ，? CD ? AB ，? AB ? 平 面 SCD ， ，同理： BC ? SA ， AC ? SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ? AM ? MN ， SB // MN ， A C ? AM ? SB ，? AC ? SB ，? SB ? 平 面 SAC ， ? SB ? SA ， SB ? SC ，? SB ? SA ， BC ? SA ， B ? SA ? (3)题-1 MN平面 SBC ，? SA ? SC ， M N 33故三棱锥 S ? ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直， 3 3 ? ( 2 R ) 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 3 ) 2 ? 36 ，即4 R 2 ? 36 ， A C 文案大全  B (3)题-2 标准实用 文案大全 文案大全 ? 正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是36 ? 在四面体 S ? A B C 中， SA ? 平面 ABC ， ? BAC ? 120 ? , SA ? AC ? 2 , AB ? 1, 则该四面体的外接 球的表面积为（ D ） A .11 ? B .7 ? C . 10 3 ? D . 40 ? 3 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 、3 ，那么它的外接球的表面积是 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1 的等腰直角三角形和边长为1 的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在? ABC 中 ， BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BC ? cos 120 ? 7 ， BC ? BC 2 77 373， ? ABC 的外接球直径为2 r ? ? ? 7 7 3 7 3 sin ? BAC 2 ? ( 2 R ) 2  ? ( 2 r ) 2  SA  2 ? (  40 723) 2 ? 4 7 2 3 3  ， S ? 40 ? 3  ，选 D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a , b , c （ a , b , c ? R ? ），则 ? ab ? 12 ? ? bc ? 8 ，? abc ? 24 ，? a ? 3 ， b ? 4 ， c ? 2 ， ( 2 R ) 2 ?? ac ? 6 ?  ? a 2  b 2  c 2  ? 29 ， S ? 4 ? R 2  ? 29 ? ， （6） ( 2 R ) 2  ? a 2  b 2  c 2 ? 3 ， R 2 ? 3 ， R ? 3A4 2 3 A V ? 4 ? R 3 ? 3 4 ? ? 3 3 8 P 3? 3 ? ， 3 2 C B 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 题设：如图