双曲线及其标准方程教学设计.docxVIP

《双曲线及其标准方程》 高二数学 叶源英 一、教学目标 （1）??知识与技能：理解双曲线的定义并能推导标准方程； （2）??过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的类比与推理、观察和探究能力； （3）??情感态度与价值观：让学生经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。 二、教学重点、难点 重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。 难点：双曲线的标准方程的推导。 三、教学过程 教学程序 设计意图 （一） 课堂导入 与阿基米德齐名的古希腊数学家阿波罗尼奥斯的光辉巨作《圆锥曲线论》详细论述了椭圆、抛物线的定义和相关性质，其中还有一种重要的曲线双曲线，它是如何定义的，图像又是什么样的呢？这节课我们来探究一下。 师：首先我们回顾一下椭圆的相关知识： 生：椭圆的定义是：平面内到两定点F1 F2 的距离之和等于常数2a（2a＞2c＞0）的点的集合。 师:提出问题：定义中“距离的和”变成“距离的差”的点的轨迹又是什么？ 用圆锥曲线有关的数学史作为课堂导入，可以有效的激发学生学习的兴趣，把学生带到课堂中去。 双曲线与椭圆从定义、方程到几何性质极其相似。通过对椭圆的定义图形，方程及相关性质的复习引入新课。既可以使学生温故而知新，也为后面的学习做好铺垫。 （二） 探究新知 探究一：双曲线的定义 师:让学生带着问题思考： （1）做图中那些是常量，那些是变化的量？ （2）动点M运动过程中满足什么？ （3）动点M满足的条件与|F1F2|的关系是什么？ （4）动点M的轨迹是什么？ 观察如下操作:(用拉链画双曲线）首先我会展示拉开的拉链在两边上各选一点固定在两定点处，让学生观察它具有的数学特征，便于学生从中概括出双曲线上点的几何性质，再带领大家用拉链画出图形。在此基础上用课件播放画双曲线的动图让学生观察。 师：大家根据上述问题、对比椭圆定义归纳双曲线的定义 生：平面内与两定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的集合。 师：如何依据椭圆中的量给双曲线中的量下定义呢？ 生：符号表示：（） 其中：焦点——；焦距——（设为）； 师;我有以下疑问，不知道同学们有谁能帮我解答一下 思考：1、去掉“绝对值”后，点M的轨迹是什么？ 生：（双曲线的一支） 若常数2a=2c；2a＞2c；2a=0时，点M的轨迹分别是什么？ 生：2a=2c时是两条射线；2a＞2c时不表示任何轨迹；2a=0时线段F1、F2的垂直平分线 （教师根据学生回答给与适当合情评价） 探究二：双曲线标准方程的推导 师：我们已经总结出了双曲线的定义，接下来我们类比椭圆标准方程的推导方法推导下双曲线的标准方程。 师：大家还记得求曲线方程的一般步骤吗？ 生：建系 —— 设点——列式——等式坐标化——化简 师：同学们小组合作先尝试推导焦点在x轴的双曲线的标准方程，类比得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程 （注意为使双曲线标准方程的形式更为简洁美观，我们设（b＞0）） 学生展示成果，得到焦点在x轴上的标准方程，再类比得到焦点在y轴上的标准方程。 师：比较双曲线两种形式的标准方程，思考以下两个问题: ①如何判断焦点的位置：看前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！） ②关系； 师：根据学生回答对重要知识进行板书再强调！ 1、让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与运用的过程。课堂教学的关键是要激发学生的求知欲，让学生主动参与，发现学习。 2、通过设问，把学生逐步引入问题情景中，通过师生互动等形式，让学生在问题中学会思考，学会学习，最终使问题得以解决。同时，问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。 3、学生亲自动手进行拉链操作演示，更能加深对双曲线的理解。 4、双曲线标准方程的推导过程与椭圆类似，体现类比推理的思想．培养学生归纳总结和类比推理的能力。 （三） 学以致用 例1.（1）已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 解： 由题知焦点在x轴上，且c=5,a=4∴=9 所以双曲线的标准方程为： （定义法） 求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过(4,-5)的双曲线的标准方程。 解：由题意知双曲线的两焦点分别为 设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0） 把A点坐标代入得，又 (待定系数法) 解得 所以双曲线的标准方程为: （教师分析并板书第二题） 练习:求适合下列条件的双曲线的标准方程。（前两个可口答，第三个找学生板演） a