大学文科数学 第六章处理线性关系的数学——线性代数 课件PPT.pptxVIP

第六章处理线性关系的数学——线性代数本章关注具有线性关系的量.记得在学习微分时，我们对微分的描述是“函数在局部的线性化”，为什么要“线性化”呢？因为线性关系是最简单的一种数学关系，简单的往往是有用的.线性代数的研究对象就是具有线性关系的数学问题.线性代数已经广泛应用于各个学科，如在密码通讯、观测导航、机器人位移、化学分子结构的稳定性分析中都有应用.§1 矩阵的概念和行列式§2 线性方程组的求解§3 矩阵与线性方程组的解线性这个词在学习微分是已经提起过，中学数学中的一元一次方程、二元一次方程就是“线性方程”，一次就是线性.从宏观上讲，函数与方程是两个数学研究的重要主题.前面的微积分涉及的主题是函数，现在我们来讨论方程组，最简单的方程组——线性方程组及与之相关的矩阵和行列式.§1 矩阵概念和行列式一、从线性方程组求解谈起中学学习二元一次方程组或者三元一次方程组的求解，基本有两种方法，一种是消元法，通常是加减消元法.如二元一次方程组在消元过程中，实际上只是对未知数前面的系数进行运算，未知数是不变的，所以我们可以把方程组的系数直接拿来制成一个表（数表）：加括号是为了表示这几个数是一个整体.甚至可以把常数项一起拿来制成数表：这样对二元一次方程组实施消元法，就可以转变为对数表进行相应的运算.这种数表数学家们给了一个新的称呼：矩阵.由于省去了未知数，矩阵看上去要比方程组简单多了，可以提高计算效率，同时也减少了出错的可能性.对实施消元法求解,将它的第一式乘第二式乘再将两式相减，得 设那么从上式解得将方程中第二式乘 第一式乘再将两式相减，得从而可以看到二元一次方程组的解是方程的系数项和常数项经过加减乘除后得到的，而且是有一定规律的.这实际上是中学学过的第二种解法：行列式解法，或者叫克莱姆法则.由高中相关知识可知，上上述解的分子分母都是某个二阶行列式的值.行列式是数学家在研究线性方程组求解时引入的一种运算方法.从上面的例子看到，为了方便地求解线性方程组，引入矩阵和行列行列式是非常必要的，也是数学发展的必然过程.下面首先来看矩阵的概念.二、矩阵1.矩阵的概念所谓矩阵，简单地说就是一个矩形的数表.下面是一个2×3矩阵（即，2行3列的数表）的例子：如上述矩阵可为了方便起见，通常用大写英文字母来表示一个矩阵.以用A来表示，即同样为了方便，也可以将一个矩阵B记作表示矩阵B是一个 n 行 m 列的矩阵，而B的第 i 行、第 j 列的元素是例如上面矩阵A可表表示为其中的两个矩阵 A 与 B，如果它们的行数和列数都相同，且每个对应位置的例如元素也都相等，就称 A 与 B 相等，记作 A=B.但是这是因为虽然上述不等号两边矩阵中的元素都为0，可是左边的矩阵是2行2列的，但右边的矩阵却是2行3列的.一个矩阵，如果它的所有元素全是0，那么我们就称这个矩阵为零矩阵.记作在不致混淆的情况下简记为O.上述例子说明一个n行n列的矩阵称为一个n阶方阵.如果A是一个n阶方阵， 我们也可将 A 记作容易看出，一个1阶方阵实际上就等同于数a.2. 矩阵的基本运算矩阵的加法和数乘矩阵计算加法的前提：阶数相同，即行和列相同.阶矩阵，我们称假设都是为矩阵A与B的和，记作设矩阵例1 那么但是，A+C 没有意义，这是因为A是3×2矩阵，而C是3×3矩阵，因此，根据矩阵加法的定义，两者不能相加.它们阶数不同.利用矩阵的加法定义，可以定义矩阵的减法，为此首先定义负矩阵.如果矩阵 那么称为A的负矩阵，记为 -A. 如 的负矩阵就是如果A, B是阶数相同的矩阵，那么我们规定例2设求 A+B 与 A-B.解从矩阵的加法、减法运算的定义中看到，两个阶数相同的矩阵可以进行加减运算.容易验证，矩阵的加法满足如下的运算性质.对于矩阵A, B, C，有(A1) 交换律:(A2) 结合律:(A3) 存在零矩阵O ,使得(A4) 对于矩阵A，存在负矩阵-A，使得如果是任一 m×n 矩阵，k 是任意实数， 那么 k 与 A 的数乘k · A(或 kA )仍是一个 m×n 矩阵，其定义为：例3 已知矩阵那么可以验证，矩阵的数乘满足以下性质.对于数 k, l, 矩阵A, B，有(M1)(M2)(M3) (M4) (2) 矩阵的转置对于任意 m×n 矩阵 为矩阵 A 的转置矩阵.我们定义一个新的 m×n 矩阵事实上，矩阵 A 的转置矩阵就是将 A 的行列互换后所得到的矩阵.例4已知矩阵那么它们的转置矩阵分别为可以验证，矩阵的转置具有如下的性质.设 A, B 是矩阵，k是数， 则有(T1) (T2) (T3) 则称 A 为对称矩阵；如果一个矩阵 A 满足 如果矩阵 A 满足 那么称 A 为反对称矩阵.因此 A 是对称矩阵或反对称是矩阵.当 A 是矩阵时，必有也就是说对称矩阵或反对称矩阵一定是方阵.矩阵时，设是 n 阶对称矩