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2022-2023 学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题
【模型讲解】
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3 ．你
能求出∠APB 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；
思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB 的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，PA=3，PB=1，PC= 11 ，求∠APB 的度数．
【解答】（1）如图1，
将△BPC 绕点B 逆时针旋转90° ，得到△BP′A ，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，
BPP′=45° PP′= BP=2
∴∠ ，根据勾股定理得， 2 2 ，
2 2 2 2 2 2 2
∵AP=1，∴AP +PP′ =1+8=9，∵AP′ =3 =9，∴AP +PP′ =AP′ ，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB= ∠APP′+ ∠BPP′=90°+45°=135° ；
（2 ）如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP= 11 ，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，
BPP′=45° PP′= BP=
∴∠ ，根据勾股定理得， 2 2 ，
2 2
∵AP=3，∴AP +PP′ =9+2=11，
2 2 2 2 2
AP′ = =11 AP +PP′ =AP′ APP′
∵ （ ） ，∴ ，∴△ 是直角三角形，且
11
APP′=90° APB= APP′ BPP′=90° 45°=45°
∠ ，∴∠ ∠ ﹣∠ ﹣ ．
【模型演练】
1 P ABC PA 6 PB＝ PC＝
．如图，已知点 是等边三角形 内一点，且 ， 8， 10
(1) △BPC B 60 △BEA
在图中画出将 绕点 逆时针旋转 后得到的 ．
(2)求APB 的度数．
2 E ABCD CE B 90 CBF
．如图，点 是正方形 内的一点，连接 、 、 ，将 ABE 绕点 顺时针旋转 到 的
AE BE
位置，连接 ， 的长为 ．
EF EF 2 2
(1)求 的长；
BF
(2)若AE 1,EC 3 ，求AEB 的度数．
3 ．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，
你能求出∠APB 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
PBC B 90° PBA P P APB
思路一：将△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，求出∠ 的度数．
APB B 90°
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