专题23 已知倒数和求分式的值（含答案析）（八年级数学下册常考点微专题提分练习（苏科版））.docx

专题23 已知倒数和求分式的值 1．已知：． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】 （1）先根据完全平方公式得出，再求出答案即可； （2）根据0＜x＜1得出，根据完全平方公式和已知条件得出，再求出答案即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴ = = =4； （2）∵0＜x＜1， ∴， ∴， ∵ ∴ = = = =． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 2．已知m2＋＝4，求m＋和m－的值． 【答案】 【分析】 由在等式的两边都加上2可得在等式的两边都减去2可得从而可得答案. 【详解】 解： 两边都加上2，得 两边都减2得： 【点睛】 本题考查的是完全平方公式的应用，求解分式的值，利用平方根的含义解方程，熟练的利用完全平方公式对已知等式进行变形是解题的关键. 3．阅读下面的解题过程： 已知求的值． 解：由知 ∴即 ∴ ∴ 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知：，求的值． 【答案】 【分析】 同时取倒数可得，方程左侧分子、分母同时除以x可得，取倒数后分子、分母同时除以x可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解． 【详解】 由知 即 ． 【点睛】 本题主要考查了倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解题关键． 4．请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，，，求的值． 解：（1）由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）根据题意得：，，， 可得， ∴ ∴． 5． （1）请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． （2）已知，，，求的值． 解：（1）∵ ∴x≠0， ∴，即 ∴ ∴=-； （2）∵，，， ∴=， ∴ ∵， ∴ 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴． （1）请继续完成上面问题的求值过程； （2）请仿照上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据完全平方公式计算即可； （2）按照材料的方法计算即可； （1） （2） ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据材料使用倒数法进行计算． 7．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴ 即，∴，∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，则＝　 　； （2）解分式方程组：； （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）xyz的值为． 【分析】 （1）仿照材料一，取倒数，再约分，化简即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分．利用加减消元法求解即可； （3）先化简已知条件，将x和z用y表示出来，再代入式子，用含b的式子表示出x，y，z，再相乘化简即可． 【详解】 （1）∵ ∴ 即x﹣1+＝2 ∴x+＝3 故答案为：3． （2）∵ ∴ ∴ ∴①×2﹣②×3得 ＝ ∴m＝﹣75 ③ 将③代入①得＝ 解得n＝ 经检验，m＝﹣75，n＝是原方程的解 ∴原方程的解是m＝﹣75，n＝． （3）∵，x≠0，y≠0，z≠0， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 将上式代入，化简得 ∴ ∴，z＝＝ 又∵abc＝5 ∴xyz＝ ∴xyz的值为． 【点睛】 本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大． 8．回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）若，，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可； （2）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可； （3）解法一：设，化简得：①，②，③，，相加变形可得x、y、z的代入中，可得k的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：，拆项得，从而得，，代入已知可得结论． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，则，，， ∴ （3）解法一：设， ∴①，②，③， ①+②+③得：， ④， ④-①得：， ④-②