交叉列联表分析.docx

交叉列联表分析 用于分析属性数据 属性变量与属性数据分析 从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性 (Categorical)变量，属性变量又可分为有序的(Ordinal)和无序的变量。 对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的： 1) 产生汇总分类数据——列联表；2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量；4) 对高维数据进行分层分析和建模。 在实际中，我们经常遇到判断两个或多个属性变量之间是否独立的问题，如：吸烟与患肺癌是否有关？色盲与性别是否有关？上网时间与学习成绩是否有关等等．解 决这类问题常用到建立列联表，利用? 列联表（Contingency Table） 2统计量作显著性检验来完成． 列联表是由两个以上的属性变量进行交叉分类的频数分布表。 设二维随机变量（ X ， Y ）， X 可能取得值为 x , x2 ,?, x ， Y 可能取得值 1为ry , y 1 为 r 1 2 , , y ?s ? ．现从总体中抽取容量为 n 的样本，其中事件（ X = x Y = y j ） n ,r j= ,s n ?s n n ?r n 发生的频率为 i j （i = 1,2, ? ， 1,2, ? ，）记 i ? = i j ， j = i j ， ??r s ? ? 则有 n =  ni j = ?  ni ? =  ?s n j ?1 i?1 j ，将这些数据排列成如下的表： iri?1 j ?1 i?1 j ?1 i r Y Y X y 1 y ? y n 2 s i ? x 1 n 11 x2 ┇ n 1 2 n 2 2 ? ? ? ? n 1 s n 2 s ? n ? 1 n 2 1 ? n 2 ? ┇ x i n r 1 n r 2 ? n r s n r ? n ? j n ? 1 n ? 2 ? n ? s n 这是一张 r×s 列联表． 属性变量的关联性分析 对于不同的属性变量，从列联表中可以得到它们联合分布的信息。但有时还想知道形成列联表的行和列变量间是否有某种关联性，即一个变量取不同数值时， 另一个变量的分布是否有显著的不同，这就是属性变量关联性分析的内容。 属性变量关联性检验的假设为 H0：变量之间无关联性； H1：变量之间有关联性 由于变量之间无关联性说明变量互相独立，所以原假设和备择假设可以写 为： ? 2H0：变量之间独立； ? 2 检验 H ： X 与Y 独立． 0 i j记 P ( X = x ，η= y ) = i j i j ，i =1，2，?，r，,j = 1，2，?，s， i j . jP ( X = x ) = p ， i =1，2，?，r，P ( Y = y ) = p ，j = 1， i j . j i. 由离散性随机变量相互独立的定义，则原假设等价于 H ： p = p p ，i =1，2，?，r ，,j = 1，2，?，s． ? 20 i j i. . ? 2 若 p 已知，我们可以建立皮尔逊 i j  统计量 r s (n n p )2 ? 2 = ? ? i j i j ． i ji?1 ij ?1 n i j 由皮尔逊定理知， ? 2 的极限分布为 ? 2(rs ?1) ．但这里 p 未知，因此用它 i j p? 的极大似然估计 ij 代替，这时检验统计量为 =? 2 ?r = (n ?s i j ? n p? )2 i j ． i?1 ij ?1 n p? i j 在 H 成立的条件下， p = p p ，即等价于用 p 和 p 的极大似然估计 0 i j i. . j i? .? j p? p? i ? 和 ? j ? n  的积去代替．可以求得 ? n in ?p = i ? ， i =1，2，?，r ， p i n ? ? = ? j ， j = 1，2，?，s， n ? 则 pij = ni ? n j ． i =1，2，?，r，,j = 1，2，?，s， n n 从而得到统计量 (n ? n ? ? )2 ? r s i j p p ? r s n 2 ? ?2= ? ? ???i? ? j = n ?? ???i j ? 1? ． i?1  ij ?1 n p? p? i? ? j ? ? i?1 ij ?1 ni ? n? j ? 在 H 成立的条件下，当 n ? ∞时， ? 2 的极限分布为 0 ? 2 (rs ?（r ? s ? 2）?1) = ? 2 ((r ?1)(s ?1)) ． ＞对给定的显著性水平α，当受 H ． ＞ 0 ? 2 ? 2 1?? ((r ?1)(s ?1)) ，