抛物线的简单几何性质典型例题.doc

抛物线性质高考题型 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是 .作PH⊥于H，交y轴于Q，那么， 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 （3）切线——抛物线与函数有缘 例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ） 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线的通径长为2p； 3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么： 【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 【证明】如图设焦点两端分别为， 那么： 设抛物线的准线交x轴于C，那么 . 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. （1）解析法——为对称问题 【例5】）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.3 D.4 【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由 设方程（1）之两根为x1，x2，则. 设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有. 从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得： ，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C. （2）几何法——为解析法添彩扬威 【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ） A． B． C． D． 【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则 且∠KFM=60°，∴.选C. （3）定义法——追本求真的简单一着 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线 的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ） A． B． C． D． 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作 ，令 .∵点M在抛物线上， ， 这就是说：的实质是离心率e. 其次，与离心率e有什么关系？注意到： . 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选 A.. （4）三角法——本身也是一种解析 【例8】）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线. （Ⅱ）直线AB： 代入（1），整理得： 设方程（2）之二根为y1，y2，则. 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是：. 令y=0，则 故 于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值. （5）消去法——合理减负的常用方法. 【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程. 【解析】假定在抛物线上存在这样的两点 ∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且 . 设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为： 例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积． 分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可． 解：设AB所在的直线方程为． 将其代入抛物线方程，消去x得 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值． 设直线l方程为．代入抛物线方程得 由得，这时．它到AB的距离为 ∴△RAB的最大面积为． 例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程． 解法一：设 则：， ，即 ， ① 把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然 代入化简整理得： ， ②