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(勾股定理在折叠问题中的应用)
教学设计
教学目标:
1、 掌握处理勾股定理中折叠问题用到的相关知识点,明确解决此类问题的技巧。
2、明确折叠的性质,会进行线段的转移。
3、能够将已知条件、设出的未知数转移至同一直角三角形中, 最终利用勾股定理解决问题。
4、通过学习既锻炼了学生的分析问题、解决问题的能力,又培养了学生学习数学的兴趣。
教学重点:
明确折叠的性质,会进行线段的转移,掌握解决勾股定理中折叠问题的方法。
教学难点:
如何将已知条件、设出的未知数转移至同一直角三角形中,最终利用勾股定理列出方程。
课时安排:45 分钟内教学过程:
一、情景导入;
同学们,我们在八年级上册第一章学习了?勾股定理?,平时我们解题过程中,经常会遇到折叠问题。那么,这一类问题究竟怎样解决? 用到了哪些知识点?又用到了哪些解题技巧?
1
今天我们将此类问题做一专题进行一下研究. 二、问题情境,整体感知;
直角三角形、长方形可以怎样折叠,
E
D C
F A D
E
A B B F C
三、解法探究;
探究活动 1,如图,小将同学将一个直角三角形的纸片折叠,A 与B 重合,折痕为 DE,若已知 AC=10cm,BC=6cm,你能求出 CE 的长吗?
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分析;连接 BE,设 CE=x,由折叠可知,AE=BE=10﹣x,把问题转化到Rt△BCE 中,使用勾股定理.
2
本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换, 它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变, 如本题中折叠前后对应线段相等.
探究活动 2,如图, 长方形 ABCD 中,折痕为 EF,将此长方形沿 EF
折叠,使点B 与点D 重合,已知AB=3cm,AD=9cm.求 EF 的长.
【分析】首先由折叠的性质知 BE=ED,∠BEG=∠DEG,可得△BDE 是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质可得 BG=GD,BD⊥EF, 再在Rt△ABD 中,利用勾股定理算出BD 的长,再在Rt△ABE 中利用勾股定理计算出AE 的长,进而得到ED 的长,再次利用勾股定理计算出 EG 的长,然后证明△BGF≌△DGE,继而得到 GF=EG,从而得到EF 的长.
【点拨】此题主要考查了折叠的性质,以及勾股定理的应用,关键是
3
熟练掌握勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
通过这两个熟悉的例子,下面我们来总结一下折叠问题的实质;
图形的全等性:图形中折叠前后重合的部分是全等形.
点的对称性:对称点连线被对称轴(折痕)垂直平分探究活动 3
我们一起来探究
如图,公路 MN 和小路 PQ 在 P 处交汇,∠QPN=30°,点 A 处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m 内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上以 18km/h 的速度沿PN 方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
思路分析;作AB⊥MN 于B,则AB 为A 到道路的最短距离.在Rt
△ABP 中,可以求出 AB(这里用到了直角三角形中 30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半) ,设 AC、AD 为正好受影响时,则AC=AD=100,在 Rt△ABC 中,BC2=AC2﹣AB2=3600,由此可以求出BC,BD,又拖拉机速度为 18km/h=5m/s,让路程除以速度可以计算出受影响时间.
四、归纳总结
4
(一)、勾股定理中折叠问题知识点:
1、折叠性质:(1)折叠前后互相重合的边、角相等(线段转移的依据)。(2)折叠前后对应点的连线被折痕(对称轴)垂直平分
2、勾股定理(列方程的依据)
(二)、勾股定理中折叠问题处理思路:
1、明确对称轴(折痕)。
2、把折叠前后相等的元素找出来。
3、设出合适的未知数。
4、将已知边和未知边(用含有 x 的代数式表示)转移至同一个直角三角形中。
5、根据勾股定理列出方程。
6、解方程。
五、课堂练习见(课件)部分《思绪飞扬》的 1,2,3 六,课堂小结
通过今天的学习,同学们首先熟悉相关的知识点,其次掌握分析的技巧,再遇到勾股定理中的折叠问题时,思想方法;方程的思想使我们能够有清新的思路。
七、作业;(如下)
八、附;教学反思;本节课是一节八年级(下)的期末复习课,学生对勾股定理很熟悉,但对于折叠(轴对称)的性质记忆比较模糊。通过本节课的学习,学生对相关知识点的记忆逐渐恢复,应用能力逐渐增强。整节课师生互动平凡,学生动脑思考积极,课堂气氛活跃,大
5
多数学生从中收获了解题的成功感,学习数学的兴趣大大增强。但本节课教师引导的比较多,学生互动和独立思考的时间较少,今后还应该多放手让学生多互动和独立思考,培养学生独立探究的能力。
人教版八年级数学(下)期末复习专题; (勾股定理在折叠问
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