复变函数 部分内容的总结与习题.doc

基本的幂级数展开式： 幂级数的重要性质：逐项求导 设 则 应用：从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式，例如， 求函数在指定点幂级数展开式: 1. ，， 2. ，， 3. ，， 4. ， 提示： 5. ， 提示： 6. ， 洛朗级数展开式 把幂级数展开式中的 换成 就得到洛朗级数中的负幂项级数。 设， 则， 所以，求洛朗级数展开式的方法就是求幂级数展开式的方法。例如， 由 得， ， 由 ， 得， ， 即，， 洛朗级数的重要性质：逐项求导 例如，上式逐项求导得到， ， 求函数在指定圆环的洛朗级数展开式 1.， 2. ， 3. ， 提示： 4. ， 5. ， 注意：在 内展开的结果必须是 的正幂或负幂的和，即具有 形式。6.， 注意：在 内展开的结果必须是 的正幂或负幂的和，即具有 形式。 7. ， 8. ， 9. 10. 求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式： ，，，，，，， ，，， 复变函数的积分 不解析函数的积分 利用曲线的参数方程，化成定积分计算。 起点是a，终点是b的直线段的参数方程: ， 圆的参数方程：， 圆的参数方程：， 设C是起点是，终点是的直线段或圆，计算 1. ，即， 2. ，即 3. 4. 二、解析函数在不闭合曲线上的积分，用原函数上下限计算，也可用参数方程化定积分计算。 1. 2. 设C是圆从1到1反时针方向。（），（是去掉原点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支，计算 ， 三、解析函数在闭合曲线上的积分，用留数计算，等于曲线所围成的区域内所有 奇点的留数之和乘以。 1. 2. 3. 4. 无穷限广义积分的计算 有理函数，分母在实轴上不等于0，分母比分子至少高二次，从到 积分，等于上半平面奇点的留数之和乘以。 1. 2. 二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积 公式 当是偶函数时， ， 当是奇函数时， 等于在上半平面奇点的留数之和乘以。 1. 2. 保形映射 映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？ 2. 为什么分式线性函数具有保角性？ 3. 如果一个保形映射把映射成，那么映射成的哪条边？映射成的哪条边？ 单叶（即一对一）解析函数的重要性质： 把区域映射成区域，区域的边界映射成边界。 要确定映射成什么区域，首先确定它的边界映射成什么曲线了。区域映射成曲线的内或外，或左，或右。 问题： 一、对于，回答以下问题。 把实轴映射成什么？ 把实轴上映射成什么？ 把实轴上映射成什么？ 把实轴上映射成什么？ 把映射成什么？ 把映射成什么？ 把映射成什么？ 把半圆映射成什么？ 把半圆映射成什么？ 把上半平面圆的外部区域映射成什么？ 把虚轴映射成什么？ 二、对于，回答以下问题。 1. 把实轴映射成什么？ 把虚轴映射成什么？ 把映射成什么？ 辐角 ●下面的条件分别表示什么集合？ ，，，，， ，， ●求值（写出实部、虚部） ，，，，， ●求把区域映射成什么区域，就是求的模和辐角的取值范围； ●求把区域映射成什么区域，就是求的实部和虚部的取值范围； ●下面的函数在什么点有导数？求出导数。 ，，， ●求对的导数。 ， 设（）是的一个解析分支，问可能的两个值是什么？ 设（）是的一个解析分支，问可能的两个值是什么？ 提示：两种割线