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第三章数列知识点归纳与典型题型 一．基础知识 1．数列和数列有关的概念 ①数列的概念；②数列的项与项数；③数列的通项公式；④数列的和；⑤数列的分类；⑥递推公式。 2．等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定 义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前面一项所得的差都等于某一个常数，那么，这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做这个等差数列的公差，通常用来表示。 如果一个数列从第二项起，每一项和它的前面一项所得的比都等于某一个常数，那么，这个数列叫做等比数列。 这个常数叫做这个等比数列的公差，通常用来表示。 通项公式 形式 一次函数型 指数函数型 推广公式 中项 如果三个数成等差数列，那么就叫做的等差中项，并且 如果三个数成等差数列，那么就叫做的等差中项，并且 推广公式 性质 1．若.则 2．取出若干项，如果它们的项数成等差数列，则它们所对应的项成等差数列。 3.对于任意的非零实数b,若数列{}是等差数列，则数列{}也是等差数列。 4．已知数列{}，{}是等差数列，则数列{}也是等差数列 1．若.则 2．取出若干项，如果它们的项数成等差数列，则它们所对应的项成等比数列。 3.对于任意的非零实数b,若数列{}是等比数列，则数列{}也是等比数列。 4．已知数列{}，{}是等比数列，则数列{}也是等比数列 前n项和公式 性质 1．成等差数列 2．{}为等差数列 1．成等比数列 证明方法 1．（常用于已知通项公式的试题） 2．判断三个数成等差数列：常用等差中项。 1．（常用于已知通项公式的试题） 2．判断三个数成等比数列：常用等比中项。 二．等差数列前n项和的关系 1．等差数列{}的前n项和公式为二次函数型 2．对于数列{}的前n项和，当时，数列{}一定是等差数列；当时，数列{}一定不是等差数列；但当时，所组成的数列是等差数列。 3.求的最大值、最小值的基本思路： （1）当时，数列递增，所有负数项的和最小； （2）当时，数列递减，所有正数项的和最大； （3）因（）。 当，有最大值；当，有最小值。 4．在等差数列{}中，常用到以下结论： 当项数为时，,, 当项数为时，, 三．等比数列前n项和的关系 1．等比数列中一定要注意公比是否为1的情况，特别是当题目为字母时。 2．公比的等比数列的前n项和，变形为，令 则的形式，这在解选择题和填空题时常会用到。 四．与的关系： ，适用与一切数列。 五．常用的前n项和公式 1． 2． 3． 4． 5． 6． 六．由递推关系寻求通项公式 类型1：递推式为型的，可用迭加法 题目1：在数列{}中，，，求。（提示：利用 来计算）。(答案：) 类型2：递推式为型的，可用迭乘法 题目2：在数列{}中，，，求。(答案：) 类型3：递推式为（）型的，可设 可得：，与已知递推式比较，得，于是，即{}是以为公比的等比数列， 注：其实就是一阶线性递推数列的特征根。 题目3：在数列{}中，，，求。(答案：) 类型4：递推式为（为常数）型的，两边同除以 得，令；，则即为类型1 注：其实就是一阶线性递推数列的特征根。 题目4：在数列{}中，，，求。(答案：) 类型5： 型的，这种类型一般利用，互化完成 题目5：在数列{}中，，前n项和为，且，求。(答案：) 类型6：递推式为（）型的，这种类型一般利用，构成等比数列来解决。 题目6：已知数列{}的前n项和为，满足，且,求。(答案：) 等，以上几种作为参考由任课教师自行解决 七．数列求和 1．常见的裂项公式： （1） （2） （3） （4）） （5） （6） 2．基本方法。 （1）倒序相加法：这是教材中推导等差数列求和公式所用的方法，具体方法为：将原和式倒写，然后两式相加即可求得。 （2）错位相减法：这是教材中推导等比数列求和公式所用的方法， （3）分解转化求和：也叫分组求和，例如课本141页：的例3 （4）裂项求和：例如练习册67页能力检测的第5和第六 （5）并项求和：例如：1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n） 等，以上几种作为参考由任课教师自行解决