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勾股定理知识点汇总
一、基础知识点:
一、基础知识点:
1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为c ,那么a2 ? b2 ? c2
2.勾股定理的证明
HE
H
E
G
F
b
a
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:
D
C
A c B
方法一: 4S
?
S
正方形EFGH
? S
正方形ABCD
, 4 ? 1 ab ? (b ? a)2 ? c2 ,化简可证.
2 b a
cb方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积 a c
c
b
2b c与小正方形面积的和为S ? 4 ? 1 ab ? c2 ? 2ab ? c2 大正方形面积为S ? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 c
2
b c
a
所以 a2 ? b2 ? c2
方法三: 1 ,
a b
A a
A a
c
c
1 1 ,化简得证 b
S ? (a ? b) ? (a ? b)
梯形 2
S ? 2S
梯形 ?ADE
S
?ABE
? 2 ? ab ? c2
2 2
a2 ? b2 ? c2
E
3.勾股定理的适用范围 a
B b C
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三
c2 ?
c2 ? a2
c2 ? b2
a2 ? b2①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在?ABC 中,?C ? 90
a2 ? b2
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理
,b ?
,a ?
如果三角形三边长a , b , c 满足a2 ? b2 ? c2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2 ? b2 与较长边的平方c 2作比较,若它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;
② 若 a2 ? b2 ? c2 ,时,以a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形;若a2 ? b2 ? c2 ,时,以a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形;
③ 定理中a , b , c 及 a2 ? b2 ? c2 只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a , b , c 满足
a2 ? c2 ? b2 ,那么以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
① 已知的条件:某三角形的三条边的长度.
① 已知的条件:某三角形的三条边的长度.
②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
6.勾股数
满足 a2 + b2= c2 的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:
(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 )
③用含字母的代数式表示n 组勾股数: n2 ?1,2n, n2 ?1 ( n ? 2, n 为正整数);
2n ?1,2n2 ? 2n,2 n2 ? 2n ?1 ( n 为正整数) m2 ? n2 ,2 mn, m2 ? n2 ( m ? n, m , n 为正整数)
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股 定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行
计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过 程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平
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