勾股定理典型例题含答案.docx

勾股定理复习 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质， 揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形 如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直 角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+ 中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. 满足 a2 + 满足 a2 + b2= c2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分 数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 4、最短距离问题： 主要运用的依据是两点之间线段最短。二、 知识结构： 勾股定理 勾股定理 直角三角形 应用 判定直角三角形的一种方法 三、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆． 如图，以Rt△ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 例如图 2，已知△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高，AD＝8，则边 BC 的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch） 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰中，， 是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例、某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ． 分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 BC 的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 AC 的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。 考点五、利用列方程求线段的长（方程思想） １、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ BA B C 【强化训练】：折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 CF 和 EC。. D E F C 考点六：应用勾股定理解决勾股树问题 例、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 5，则正方形 A，B，C，D 的面积的和为 分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题， 一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。 点评：请同学们自己把其内在的一般变化规律总结一下。考点七：应用勾股定理解决数学风车问题 例 7、(09 年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在 Rt△ABC 中，若直角边 AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 。 分析：因为，直角边AC＝6，BC＝5，当将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍后，得到四个直角边分别是 12 和 5 的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因此，斜边长为：=13，较短的实边长是 6，所以，这个风车的外围周长为：4×13+4×6=76。 解：这个风车的外围周长为 76。 考点八：判别一个三角形是否