排列组合内一类传球问题的研究.docx

对排列组合中一类传球问题的研究 湖北省鹤峰一中 刘坤成 邮政编码 445800 摘要 排列组合问题是学生最害怕的问题之一，本文着重研究了一类传球问题的解法，总结出了这类问题的一般规律。 主题词：排列组合 传球问题 研究正文： 有一个题是这样的：5 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传 出，求传10 次后又回到甲的情况。 以此题为原型，本文研究了一般情况：n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传 x 次后又回到甲的情况。 共分为四类研究： 一、奇数n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 二、奇数n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数 x 次后又回到甲的情况。 三、偶数n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 四、偶数n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数 x 次后又回到甲的情况。 为方便起见，以下k 、m 、n 、r 、t 均为正整数。 一、奇数n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 分析：从甲传出，传 x 次后又回到甲， x 为偶数； 1、当次数x 小于2n 次时，不妨设为x ? 2m (m ? n) 次，只需正传m 次，反传 m 次，有Cm 种。 2 m 2、当次数x ? 2n 次时，分为两类：一类是2n 次传球中正传n 次，反传n 次， 有Cn 2n 种；二类是2n 次传球中正传0 次（反传2n 次）或正传2n 次，有C 0 2 n C 2 n 种。 2 n 故共有C 0 2 n Cn 2 n C 2 n 种。 2 n 3、当次数 x 在(2n,4 n) 之间时，不妨设为 x ? 2m 次，分为三类：一类是2m 次 传球中正传m 次，反传m 次，有C m 2 m 种；二类是2k 次传球中正传2n ? t 次反传t 次， 有Ct 种，其中2n ? t ? t ? 2m ；三类是2k 次传球中反传2n ? t 次正传t 次，有Ct 2 m 2 m 种；其中2n ? t ? t ? 2m 。故共有Cm 2 m 2Ct 2 m 种，即Cm?n 2 m Cm 2 m Cm ? n 种。 2 m 4、当次数x ? 4n 次时，分为两类：一类是4n 次传球中正传2n 次反传2n 次， 有C 2 n 种；二类是 4n 次传球中正传 n 次反传3n 次或正传3n 次反传 n 次，有 2Cn 4 n 种；三类是4n 次传球中正传4n 次或反传4n 次，有 2 种。故共有C 2 n 4 n  2Cn 4 n 4n ? 2 种， 即C 0 4 n Cn 4 n C 2 n 4 n C 3n 4 n C 4 n 种。 4 n 结论：同理， 当次数 x ? 2kn 次时，因为2kn 可分为0 ? 2kn ， n ? (2k ?1)n ， 2n ? (2k ? 2)n ， ?????? ， (k ? r)n ? (k ? r)n ， ?????? ， (2k ?1)n ? n ， 2kn ? 0 共2k 类(0 ? r ? k ) 。每类 看成是 2kn 次传球中正传 (k ? r)n 次反传 (k ? r)n 次， 有 C ( k ?r ) n 2kn 种； 故共有 C 0 2 kn Cn 2 kn C 2 n 2 kn ? ?????? ?C 2 kn 种。 2 kn 当次数 x 在(2kn,(2 k ?1)n) 之间时，不妨设为 x ? 2kn ? 2m 次（ 0 ? m ? n ）。因 为 2kn ? 2m 可 分 为 m ? (2kn ? m) ， (n ? m) ?[(2k ?1)n ? m] ， (2n ? m) ?[(2k ? 2)n ? m] ， ?????? ， [(k ? r)n ? m] ?[(k ? r)n ? m] ， ?????? ， [(2k ?1)n ? m] ? (n ? m) ，(2kn ? m) ? m 共2k 类。每类看成是2kn ? 2m 次传球中正 传(k ? r)n ? m 次反传(k ? r)n ? m 次，有C ( k ?r ) n ? m 种； 2 kn 故共有Cm 2 kn ? 2 m Cn ? m 2 kn ? 2 m C 2 n? m 2 kn ? 2 m ? ?????? ?C 2 kn ? m 种。 2 kn ? 2 m 例如： 1、5 人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传 8 次后又回 到甲的情况有C 4 种。 8 方法：要能回到甲，必须 8 次中正传 4 次，反传 4 次。即只要 8 次中任选 4 次向正传就可以了，有C