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巧用力矩解平衡问题 王云波 （上海市育诚高级中学 200233） 限于知识的难度和学生的实际情况等，中学物理中，物体在平面力系作用下保持平衡的问题，常细化为二力平衡、共点力平衡及有固定转动轴物体的平衡。而重点研究二力平衡、共点力平衡问题。力矩知识主要用来解决有固定转动轴物体的平衡问题或必须选定转动轴才能解决 的问题。但是需要指明，物体在平面力系作用下保持平衡的充要条件是：作用于物体的平面力系矢量和为零，对和力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零。处于平衡状态的的物体，可以是静平衡，即物体既无平动也无转动保持静止；也可以是动平衡，即物体做匀速直线运动或匀速转动。因此，受平面力系而处于平衡状态的物体，其所受的共点力平衡与力矩平衡是统一在一起的。在学生学习过程中，碰到既可以用共点力平衡解决又可以用力矩平衡解决的问题时常常比较迷茫，认为共点力平衡与力矩平衡是互相排斥的。其实不然，只是平时我们接触到的问题要么突出共点力，要么突出力矩，而淡化另一方面。当有些问题同时需要满足两方面条件比较明显时，平衡的充要条件就突出了。这两方面是相辅相成的，甚至看似用共点力解决的问题，若换一个角度，用力矩来解则可以独辟蹊径，事半功倍。特别在以下几个方面用力矩往往有独到的用法。 1、共点力平衡问题可以转换为力矩平衡问题情况。当物体受力复杂时且作用点不在一点 （此时作用线仍交于一点）时，取受力最复杂的点为转动轴可以减小分析力的个数（过转动轴的力矩为零，可以不分析其力）；特别是有两个以上的物体系统，整体法用力矩平衡解答更简洁。 L ?1?2 LAB例 1、两球 A、B 带同种电荷，A 质量为ｍ 带电为 q L ?1?2 L A B 1， 1 2 带电为q 。平衡如图所示，两球处于同一水平线上，两边? =? 。则(1)两小球 2 1 2 的质量关系为 ；(2)若 A 质量为ｍ =m，B 质量为 m =2ｍ，则? 和 ? 关系是 。 2 1 2 1 解析：用共点力平衡条件，对小球A，受绳拉力 T、库仑力 F1、 重力 m1g 作用，建立水平和竖直方向坐标系，有 F1-Tsin?1=0； F 1  L ?1?2 L F Tcos?1-m1g=0 ， 得 tg?1= 1 kq q = 1 2 A B 。 同 理 ， 对 B 有 m g F kq q m g m gr2 1 1 1 tg?2= 2 = 1 2 。因为?1=?2，F1=F2，所以 tg?1=tg?2，可得 m1= m2。此法较繁，若用力 m g m 2 gr2 2 矩平衡则很简。取A、B 整体对象，以悬挂点为转动轴，则可以回避两球间的库仑力、绳对两 OαβB球的拉力，对系统由力矩平衡条件有：m1gLsin?1=m2gLsin?2,因为?1=?2,所以有 m1=m O α β B A sin? m1gLsin?1=m2gLsin?2，m 1=m，m2=2m 可得： sin?1 =2。由此看，用力矩平衡解答此类问题， 2 既减少了分析力的个数，又可以大大简化数学运算。 例 2、如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α 和β，求两球质量之比。 解析：此题可以分别分析小球 A、B 所受共点力，  N N O N1 2 N 对每个球列共点力平衡方程求解，但是很繁琐。若换一 A α 3 β 个角度，以O 为轴用力矩求解则较方便。如右下图，小 m g B N ’ 1 1 球 A 受到N1、N2、 m1g 三个力作用，B 受到N1、’ N3、 m g 2 m2g 三个力作用。与弹簧一起看作绕过 O 点的转动轴平 衡问题，其中 N2、N3 没有力臂，N1 和 N1’的力矩互相抵消。于是有：m1gRsinα=m2gRsinβ， m 所以有： m1 2 ? sin? 。sin? 。 2、用于求极值情况。一般情况下，由某一物理规律建立的函数关系，再求某一物理量极 值问题，函数关系要具有非单调性。因此常见的要么是二次函数求极值，要么是三角函数求极值。如此就要建立二次方程或三角方程，然后经过数学运算求极值。碰到三角函数，求极值又很难，并且加重了数学知识得运用而淡化了物理思想和方法。而用力矩解可以将过转动轴的力不用考虑，不仅减少分析力的个数，也使建立的方程或函数关系由二次变为一次，从而简化运算，更突出了物理思维。 例 3. 如图所示，质量分别为 2 m和 3m 的两个小球固定在一根直角尺 BO A B 的两端 A、B，直角尺的顶点 O 处有光滑的固定转动轴。AO、BO 的长分别为 2L 和 L。开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。 让该系统由静止开始自由转动，求：开始转动后B 球可能达到的最大