巧用圆锥曲线的定义解题.docx

PAGE PAGE 1 巧用圆锥曲线的定义解题 熊启永 邮编 400021 在高中新教材中，圆锥曲线除书上明确给出的定义外，在例题中，椭圆和双曲线还有另一种定义方法：到定点与定直线的距离比为定值e 的点的轨迹，当0 ? e ? 1叫椭圆，当e ? 1时叫双曲线(简称第二定义)。在解题 时，若能熟练而巧妙地运用这两种定义，充分发挥其定义的作用，将会收到事半功倍的效果，下面以椭圆为例，举例说明它们在解题中的妙用。 例１：一动圆过定点A(?2,0) ，且与圆C ：(x ? 2) 2 y 2 ? 36 相切， PA P A C 解：设动圆圆心为 P ，由已知得 | PA | ? | PC |? 6 ，由椭圆的定义知，所求 P 点的轨迹为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 9 5 ?x 2 y 2 ? 例 2：点 M 是椭圆  ? 1上的一动点，求它到椭圆的右焦点F 25 16 2 与点 A(2,2) 的距离和的最大值。 解：如图，设椭圆的左焦点为F ，求得其坐标为(?3,0) ，由椭圆的定 1 MA M A F 1 F 2 | MF 1 | ? | MF 2 |? 10 则 | MA | ? | MF 2 |? 10? | MA | ? | MF | 291 29 ≤10+| F 1 A | =10+ 故，所求的最大值为 10＋ ，此时 M 是 AF 的延长线与椭圆的交点。 291 29 说明：以上两例都是巧妙地运用了椭圆的定义，特别是例2，若直接根 据两间的距离公式来求解此题，将十分繁琐. 例 3：已知点 A 的坐标为(2, 6 ) ，点 B 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的右焦 16 12 点，在该椭圆上求一点P ，使得| PA | ?2 | PB | 的值最小. PAMB解：设点 P 到椭圆的右准线 x P A M B 的距离为| PM |? d ，则 | PB | ? e ? 1 ，即 2 | PB |? d ， d 2 所求的 P 点即为过 A 点作准线 x ? 8 的垂线段 AM 与椭圆的交点，其坐标为(2 2, 6 ) . 说明：此题与上题有点类似，但若用上题的解法显然行不通，这里， 巧妙地应用了椭圆的第二定义将 2 | PB | 转换成 P 点到准线的距离，然后 根据“数形结合”的方法求得满足条件的点P 的坐标. 以上的几个例子都是针对椭圆来列举的，事实上，对于其它圆锥曲线来说，完全可以类似解决，这里就不再一一列举.